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a[b+p) (a+r) (b+p+r) (a+ar) (b+p+ir). . .etc.b[a+p) (6-fr) (a-fp+c) (ù-fâT) (a+p+ar).. .etc.

ii. Appliquons ces formules à la produite continuede Wallis,

t 4.2.4.4.6.6.8.8.10.10..,.

à 1. 3 . 3 . 5 . 5 .7.7.9. 9.11....

En comparant avec (/), nous aurons\

a = 2 , b = 1 , p — 1 . r = 2 ,

d’où

TH

_ ^celui où la quantité A est indépendante de la variable

X. La condition de celte transformation est évidem-ment remplie par l’emploi de l’algorithme général desfacultés, sous la forme générale (o ),

Fx = (-^x)} x \i

z et I étant deux quantités données , t]/x désignant unefonction de z déterminée d’après la nature de la fonctionFx, et <fx étant la fonction arbitraire qui sert de me-sure ; car suivant cette génération technique delà fonc-tion Fx , tous les facteurs ipx, etc.,

formant la faculté, sont indépendans de la variable x.Cette génération (o) constitue le quatrième et dernieralgorithme technique , élémentaire , primitif, auquelM. Wronski a donné le nom de facultés exponentielles,Dans le cas particulier où la mesure est la simple va-riable x , l’évaluation de la fonction Fx peut être gé-néralement opérée sous la forme (p) ,

Pour simplifier cette expression, observons que (voy.Factorielle) ,

r W • (%-'))

2 11 ’ = 2*.,* 1 ' =

,*'* = V» •(*>*"•

Nous aurons donc d’abord, en substituant (m),

mais on a généralement,

a m \r.a m \— r = a.{a — {ni ——*!»•

et, par conséquent ,

•(*)*"' = i

d’où l’on tire

(i)

Pi

le point placé sur z indiquant qu’il faut donner à cettevariable auxiliaire li valeur zéro. En effet, nous avonsd’après la nature des facultés,

(FM-i)jl'

F(z-f-i)-F(z-|-2).F(z-(-3)...F(z-fx—i).F(z+x)Fz. F(z-j -1 ). F(z+») . F(z-f-3). ..F(z-fx—7)~

F( z-M

Fz "

ainsi la forme (p) se réduit à

Fx = F(o)

et en faisant z = o , on a l’identité

substituant dans {ni ), il viendra

ce qui donne définitivement, en prenant la racinecarrée des deux membres de cette dernière égalité ,

c’est la belle expression de Vandermonde. (Foy. Cer-cle, 33.)

12 . Examinons maintenant le second cas de la trans-formation générale ,

Fx — À X ,

F * = F (°> ■ F(o) “ F *‘

Mais la formule (p ), qui se réduit à une simple identitélorsque x est un nombre entier, reçoit une significa-tion déterminée , et son second membre n’est plu*identique avec le premier , lorsque x est un nombrefractionnaire , irrationnel , ou imaginaire. Alors , endéveloppant la faculté qui le compose, au moyen de laloi fondamentale des facultés ( voy . Facultés, 17) > oaobtient pour la fonction Fx, des dévcloppemens entiè-rement différens de tous ceux qui résulteraient de 1 em-ploi des trois autres algorithmes techniques. Nous nepouvons entrer dans plus de détails sur cet algorithme