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TR

TA

«lors cette question : Sur un axe donne comme sommetdécrire une suite de courbes dont la propriété soit telle,fjue le rayon oscillateur soit coupé par son axe en uneraison donnée, et ensuite construire la rajectoire quicoupera cette suite de lignes à angles droits. Il entraiten outre dans les conditions du problème de le rame-ner au moins à une équation différentielle du premierdegré susceptible de construction , au moyen des qua-dratures.

Cette dernière question, beaucoup plus compliquéeque la première, fut successivement résolue par Tay-lor ( Trnnsact. phil., 1717), Nicolas Bernouilli, fils deJean [Actes de Leipsick, 1718, 1720), Nicolas Ber-nouilli , fils de Jacques (Actes de Leipsick, 1719) etHe rman. La solution de Jean Bernouilli, qu’il avaitcommuniquée à Leibnitz en lui adressant le problème,se trouve dans le tome 11 de ses oeuvres; elle est re-marquable par son extrême élégance. Il prouve que sile rapport du rayon osculatenr à sa partie interceptéeentre l’axe et la courbe est représenté par celui de 1 à n,l’équation de la courbe ayant la propriété demandée,sera

x "dx

V(a™—x™)

ce qui est l’équation d’un cercle si n ■— 1, et celle d’uucycloïde si n = A- E11 effet le rayon osculateur de lacycloïdeest partagé en deux parties égales paiT’axe, et,dans le cercle le rayon osculateur n’est autre que lel’ayon même du cercle, et, par conséquent, est égal à lapartie de ce rayon intercepté entre l’axe et la courbe.Pour donner au moins une idée de la solution du pro-blème des trajectoiris orthogonales, considérons uneinfinité de courbes mil , m'ri, m"n", etc. (PI. 58, fig. 10),formées par une loi commune et qui sont toutes coupéesà angles droits par une courbe CD. Il est évident quesi du point O où l'une de ces courbes mn, par exemple,est coupée par CD,. on mène la droite OT tangente atnn et la droite OQ tangente à CD , ces droites serontperpendiculaires l’une sur l’autre, de sorte que la tan-gente de l’une de ces courbes est normale à l’autre etréciproquement. Ayant menée l’ordonnée OP —y, ainsiqu’une autre ordonnée infiniment proche po', menonsencore la droite OQ parallèle à l’axe, et nous auronsdans le triangle rectangle o'Or à cause de la perpendi-culaire Oq sur l’hypothénuse o'r,

1

! qr : Oq : : Oq : o'q ,

0r t en considérant OP comme l’ordonnée de la courbeCD , qr est l’accroissement infiniment petit ou la dif-férentielle dey, car pr — OP = — qr-, comme en con-sidérant OP seulement comme l’ordonnée de la courbeni n , o'q est la différentielle de OP ou de y - de plus

Oq = l?p = kp — AP = x -j- dx — x = dx. Ainsi,désignant — <yr par — dy et o'q par dy', pour ne pasconfondre ces deux différentielles, la proportion ci-des-sus est la même chose que

dy' : dx — dy ,

I

dx 1

dy'

Ceci posé, la sounormalePT delà courbe ED a pour

yjy

expression générale qu’il faut prendre négative-ment parce qu’elle est située en sens inverse de la sou-normale PQ de la courbe mn , et cette sounormale PTest en même temps la soutangente positive de mn.Ainsi, cherchant à l’aide de l’équation de la courbe don-née mn , l’expression de la soutangente PT, en égalant

cette expression à —ou formeral’éq îaiion .ni fera

connaître la courbe CD. Ou bien, ce qui est plus simple,cherchant la valeur de dy' que nous supposerons =Mcêr , et faisant

, dx 1

M dx = - ,

dy

cette équation donnera celle de la courbe. Il faut ob-server dans l’un et l’autre procédé d’éliminer le para-mètre ou la constante de l’équation de la courbe mnafin que la trajectoire AB se rapporte à l’une quel-conque des courbes mn, m'ri, etc., c’est-à-dire à toutesen même temps. Les exemples suivaus vont éclairercette théorie.

1. Soient les courbes AM, km, etc. (pl. 5 q, fig. 18),une infi iité de paraboles du même ordre, ayant mêmesommet et dont p est le paramètre qui varie d’une pa-rabole à l’autre.

L’équation des paraboles de tous les ordres étant

ym — pm— l' X

différentions en regardant p comme constant, il viendramy ln —i dy' = p'"— 1 . dx

d’où

, p m —i.dx dx x

rnym— 1 dy

dy' =

•S JiiyW—l

ce qui donne la valeur de p” 1 - 1 .

mym—l dx

r- = -