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laissent ensnite le mobile se mouvoir librement, il doitdécrire une ligne droite et continuer à se mouvoir àl’infini dans la même direction et avec la même vitesse,f i rien ne vient troubler son mouvement. Mais si, ou-tre l’action de celte force instantanée, il est soumis àl’action d’une autre force qui agit constamment sur luiet dans une direction differente de la première, il seraévidemment contraint de se détourner à chaque instantde cette première direction, et il décrira une couibequi variera suivant l’intensité et la direction de laforce qu'il éprouvera à chaque point, et suivant lavitesse et la direction primitive de sa projection. Toutcela a déjà été exposé ailleurs. ( Voy. Mouvement. )

a. Supposons donc qu’un point matériel projeté dansla direction de la droite BiM (PI. 58, fig. i3) éprouvel’effet d’une force accélératrice qui l’attire ou le poussevers un point fixe A. En vertu de l’action combinéedes deux forces qui le mettent en mouvement il dé-crira la couibe BN, dont il s’agit de déterminer la na-ture. Pour cet effet, imaginons le point parvenu en zs ur sa trajectoire, et prenant B pour origine du mou-vement, menons la droite AX, sa perpendiculaireAY, et le rayon vecteur Az. Si uous con>idérons AX etA Y comme les axes des coordonnées de la trajectoire,l’abscisse du point z sera AP et son ordonnée sera Pz.

Maintenant désignons par p l’intensité de la force ac-célératrice à l’unité dp distance , et comme il noussuffit ici d’examiner le cas où cette force agit en raisoninverse du carré de la distance , son intensité à la dis-tance Àz = z sera La force agissant dans la di-

2 > 7*

rection Az ses composantes Pz et Qz parallèles auxaxes seront

. cos AzP , — . cos QzA

z* ’ z a ^

ixX UY , _

ou ^-—5 et ~-a cause de

7» Z*

cos AzP — ?” = X ’ cos Q Zi ^ = T~ '

Az z ^ Az z

et comme ces composantes tendent évidemment à di-minuer les coordonnées x et y, il faudra leur donnerle signe —.

Or, l’équation fondamentale du mouvement variable

accéléré est f = ~ (voy Accéléré), nous avons doncici («),

d 1 x u.x d'y py

di' ~ z 3 ’ di' z s

dt étant toujours l'élément du temps.

3- Pour obtenir une intégrale première de ces deux

équations, multiplions la première par y, la secondepar x et retranchons ensuite la seconde de la premièreil viendra

y-

d'xdt'

o »

et, en multipliant par dt

d'x

*'~dt

d'y— x.-f-dl

intégrant par parties et réduisant on trouvera (b),

ydx — a'dy _

dt — C

c étant une constante que nous déterminerons plusloin.

4 . Nous obtiendrons une autre intégrale première enmultipliant la première des équations (a) par idx , laseconde par idy , et en preuant ensuite leur somme.On trouve d’abord de cette manière ,

‘idx.d'x -\-o.dy.d’y _ np{xdx -\-ydy)

mais le second membre de cette dernière égalité conte-nant les trois variables x , y, z, on peut le simplifier enobservant qu’on a la relation x’-f-.y* = z 1 d’où l’on lireen différentiant ixdx r xydy = -izdz. Ainsi cette éga-lité est la même chose que

ldx.d'x-\-ldyd'y

d7‘

• +

o

et l’on trouve en intégrant (e)

dx % -\-dy*di‘

O

b désignant une constante.

5. En éliminant dt entre les équations (b) et (c) onobtiendrait l’équation de la trajectoire , mais les expres-sions deviennent plus simples en rapportant cetiecourbe à des coordonnées polaires. Par exemple, comp-tant l’angle du rayon vecteur à partir de l’axe AB , cldésignant cet angle, ou zAB, par tp ou aura x= z.cos y,y = z.sin <p , d’où

dx = dz. cos <p — z.sin <p.d<p

dy — dz.s\a<p -f- z.cos ip.dtp

substituant ces valeurs de x,y, dx, dy dans les équa-tions (b) et (c) elles deviennent

t.. .z *.d<p = c.dt