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TR

TR

dz 2 -\-z 2 tl<p 2

dl 2

VL

z

+ 6 = 0

éliminant dt , on obtient

c 1 • d z 2 c>z^.dtp* ' z"

VL

z

+ b= o

pour l'équation différentielle de la trajectoire.

6. On peut simplifier cette équation, ce qui faciliteson intégration , en observant que si l’on pose

i . dz

r — - , on a dr = —.z ’ z*

la forme de cette valeur indique que la trajectoire estune section conique , ce dont on peut s’assurer facile-ment en examinant les équations polaires de ces cour-bes. Mais en transformant les coordonnées polaires encoordonnées rectangulaires, cette vérité devient encoreplus manifeste.

8. Menons par le point A, centre de la force accélé-ratrice les axes rectangulaires AX' et AY', et supposonsque l’axe AX'fait avec l’axe AX des coordonnées polairesun angle XAX' = a j désignons par x' et y' les coor-données du mobile rapportées à ces nouveaux axes , etcomme le rayon vecteur z fait avec l’axe AX' un anglezAX' = <p — a , nous aurons

Substituant, elle devient

x' = z.cos {<p —*), y = z . sin(0—»), z = \/[x' 2 -\-y' 2 ]

dr 3 , , ,

c 2 4* cV* — 2fir -j- b = o

substituant dans (d), nous aurons après toutes les réduc-tions (e),

Résolvant cette dernière par rapport à dtp on a

fl 1 /*4-6c* x '* = c 4 — ic 2 x'.\Zp 2 —6c*

d* =

i.dr

\/[î pr —6—cr ]ce que l’on peut mettre sous la formec 1

VÏ 7

dtp —

v[y—bc 2 ]

, dr

\Z['-(v^)’] '

Intégrant cette dernière égalité, on obtient

<p = tu -i- arc ( cos ==—

V Vïy-bc 2 ]J

«étant la constante arbitraire.Réciproquement on aura

cos (®—«) = —f-=—

Vly-bc 1 ]

et, en remettant - à la place de r ,

pz — — 6c > ].cos(<p — »).z — r; 1 = o.

équation qui appartient à l’ellipse, à l’hyperbole ou àla parabole selon que la constante 6 est positive, néga-tive ou nulle. En outre, comme d’après cette équationle rayon vecteur y/[ x' 2 -\-y' 2 ] peut s’exprimer sous formerationnelle en fonction de l’abscisse x ', il en résulte ,d’après la théorie des sections coniques, que l’originedes coordonnées x', y ', ou que le point A, centre dela force accélératrice , est dans les trois cas l’un desfoyers de la courbe.

g. Il est donc rigoureusement démontré qu’un pointmateriel attire vers un point fixe en raison inverse ducarré des distances , décrit une section conique dont cepoint est un des foyers. La nature et les dimensions dela courbe dépendent des constantes arbitraires 6 et c ,et ce n’est que par les conditions initiales du mouve-ment qu’on peut déterminer ces constantes, et par con-séquent la courbe elle-môme. Mais il nous suffit icid’avoir établi cette proposition générale.

io. Reprenons maintenant l’cquation (b) pour en ob-tenir la signification de la constante c. En intégranton obtient (e),

f[ydx — xdy] == et 4- c'

Telle est définitivement l’équation polaire de la trajec-toire dans l’hypothèse d’une force accélératrice agissanten raison inverse du carré de la distance.

7. Si l’on remarque qu’à cause de l’angle arbitraire*/on peut changer le signe de cos (1 p — n ), car cela revientà augmenter a de deux angles droits, et qu’on a, aprèsce changement, en tirant la valeur de z , (d),

c*

wi s 4 - V / [f x ’—6c 1 ]. cos ( <p —’

c' étant une nouvelle constante arbitraire.

Observons que ydx étant l’élément d’une surfacecourbe (voy . Quadrature) , nous pouvons supposerque cette surface est comprise entre les abscisses x =0et x = AP , alors l’expression fydx sera représentéepar l’aire NAPZ. Si nous retranchons de cette aire letriangle APZ, il nous restera,

secteur NAZ = aire NAPZ — triangle APZ 1ou

z