TR

XV

secteur NAZ = fydx - —

différentiant, il vient après les réductions,

„ „ ydx—xdy

d (secteur N AZ) —---•

Intégrant de nouveau, on aura

2 secteurs NAZ = f [ydx—xdy]

Ainsi l’équation (e) revient à {/)

I

2 secteurs NAZ = et.

Nous supprimons la constante c' parce que nous pou-vons supposer que le temps commence lorsque le sec-leur est nul.

Faisons e = 2A, il viendra simplementsecteur NAZ =K.t ,

ce qui nous apprend que la surface du secteur décritpar le rayon vecteur est proportionnelle au temps quele mobile emploie à parcourir l’arc de la courbe. Cettepropriété est connue sous le nom de principes des aires.Découverte par Kepplcr dans les mouvemens des pla-nètes autour du soleil, il était reserve a Newton dela démontrer comme une conséquence de l’attractionque cet astre exerce sur tous les corps qui circulent au-tour de lui. ( Voy . Aires proportionnelles.)

i 1. En faisant t = 1 dans l’équation (f ) elle devient :2 secteurs NAZ = c , ce qui fait reconnaître que laconstance c exprime le double du secteur décrit dansl unité de temps.

12. Le cas où le mobile décrit une ellipse étant leplus important, reprenons l’équation (e), et comme elleexprime cette courbe lorsque b est positif faisons seule-ment, pour simplifier, y/^ 1 —£c J ) m, elle devien-dra (g) ,

py'* _j. bc*x'* = c* — ic'mx;et comme elle donne

y' = ±: - . V/lc 1 — bx'‘ — imx'’]

P

Ou voit que toutes les ordonnées rectangulaires positi-ves sont égales aux ordonnées rectangulaires négativescorrespondantes, ce qui indique que l’axe AX' ne peutétie que le grand ou le petit axe delà courbe. Il estdonc nécessairement le grand axe puisqu’il renferme lefoyer.

Cette circonstance nous permet de simplifier encorei équation (g) en la rapportant au centre de l’ellipse.Pour cet effet, faisons x' = x 4- a et disposons de

TR 559

l’indéterminée a de manière qu’elle fasse disparaître leterme affecté de x' qui ne doit pas se trouver dansl’équation au centre. Faisant donc cette substitution, ilvient, après avoir divisé par c*, (h),

“ï • y * “H bx x -(- %ba. / je —J— ba *

-j- 2 m » •\-ima.

— c 1

égalant à zéro le coefficient de x , on a

m

“ = ” b'

Cette valeur introduite dans ( h ) change cette équationen (i) ,

u* ... m *

— • y 1 + bx* -,-c’ = o

c * b

Wl* (A*

mais m — ^(p'—bc’), ainsi —ç = ^ —c*, et (i) seréduit à

— . y'‘ -j- b.x 1 — x = 0c* 1 b

et, en faisant disparaître les dénominateurs, on obtien-dra ,

bp.*.y 1 -f- bc'.x* —cW =0.

Dans cette équation , l’origine des coordonnées est aucentre, et par conséquent on peut obtenir les valeursdu grand et du petit axe , en supposant alternative-ment^’ = 0 et x = o. On trouve en faisant x = o ,

et en faisant^' = o ,

et comme alors x exprime le demi-grand axe ct.y ledemi-petit axe, on a donc

demi grand axe = g , demi petit axe =

mais tc désignant la demi-circonférence du cercle dontle rayon est l’unité , l’aire d’une ellipse dont A et Bsont les demi-axes principaux est 7 rAB {voy. Quadra-ture); ainsi l’aire de l’ellipse décrite par le mobile estégale à

n.cp

b\/f