TR

TU

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b *

s -----

a-\- e. cos y

car telle est l 'équation polaire de l’ellipse. Mais pourdiminuer le nombre des quantités constantes, mettonscette équation sous la forme (h),

a 2 —e'a -f- e.eosy

en nous rappelant que b 2 =. a 2 — e 2 . { Voy, Ellipse.)

Ceci posé, observons que , si après avoir décrit l’arcinfiniment petit, et que nous pouvons par consé-quent cons dérer comme une ligne droite, il n’existaitaucune foi-i e qui vînt influencer la planète, elle conti-nuerait à se mouvoir dans la direction delà droite Mmet arrivera.t en m' après un intervalle de temps déter-miné. Ainsi puisque la planète infléchit sa route et qu’aulieu de parcourir la droite mm' elle parcourt l’arc decourbe mn , il faut de toute nécessité qu’elle soit sou-mise à l’action d’une force accélératrice , et il est facilede l e t onuaîire , d’après le principe des aires égales dé-crites par le rayon vecteur dans des temps égaux, quecette force agit constamment dans la direction du rayonVecteur , ou de la droite tirée à chaque i; stant du foyerF au point de la courbe occupé par la planète.

La foi ce accéléiatrice dont nous venons de rencon-naître IVxistence est donc située au foyer F, c’est-à-dire, au centre du soleil, et nous ne pouvons considérerson action que comme cei> c du soleil lui-même sur laplanète. Prenons maintenant pour axes rectangulairesdes coordonnées FX et FY, ou le grand axe de l’ellipseet sa perpendiculaire au foyei, désignons F q par x etM p par y, et observons que puisque la force accéléra-trii e, que nous désignerons par R, agit dans la directionMF, ..es composantes parallèles aux axes des coordon-nées seront dans les directions M p et Mÿ . et qu’en re-présentant cette force par le rayon vecteur FM, M/j etM</ représenteront les composantes elles-mêmes. Or,nous avons

force, ainsi que .celle de ses composantes, tendent àdiminuer les coordonnées x et y et il faut prendre les

X V

expressions R. — et RX avec le signe — .

16. L’équation générale d’une force accélératrice va-* t > d*e

riec étant y = — , dans laquelle y désigne l’intensité

de la force, et e l’espace qu’elle fait parcourir dans letemps t {voy. Accéléré) , nous aurons doue pour leséquations du mouvement de la planète,

d 2 x _ x d'y

ar —SF

S

Si nous multiplions la première de ces équations paridx , la seconde par idy , et que nous les ajoutions, ilviendra

idx. d 2 x-\-idy. d'y

■jR

ce qui se réduit à

a dx. d'x-\- , xdy. d'ydt 2

= — aR.cte,

en observant que at’-f -y* = z 2 , d’où xdx-\-ydy == zdz.Intégrant cette dernière expression , il vient (Q

dl 2 J

b désignant une constante arbitraire.

Mais nous avons aussi x = z.coSf,y = r.siny,d’où l’on tire

dx 2 + dy = riz’ + z 2 . df.

Ainsi nous pouvons donner à l’expression (f) la forme ( m)

dz 2 -\- z 2 . df _ ^

dt 2

2/R. dz

M p = FM X cos (FM/j)

M<7 = FM X cos ( FMi 7)

A-iusi les composantes de la force R sont : R. cos(FM/j),ei I\.co- (FMi/j,ouR.^, car

cos (FM/>)

Mp _ F<7 _ x

FM “ FM — z

17. Pour éliminer de cette dernière équation letemps dt, remarquons que l’aire infiniment petite mFMdécrite dans le temps dt par le rayon vecteur FM peutêtre confondue avec l’aire d'un secteur circulaire, ayantFM ou z pour rayon et M/ra ou df pour arc. Cette airea donc pour expression z 2 .df {voy. Secteur); et sinous désignons parc le double de l’aire décrite par leravon vecteur dans l’unité de temps , nous aurons envertu de la première loi de Kcppler (n),

cos (FM<?)

M7 _ y

FM z

mais la combe étant concave vers le soleil, l’action de la

z 2 .df = c.dt.

18. Tirant de l’équation (/;) la valeur de dt et la sub»*tituantdans l’équation {m), il viendra (0)

7t

TOMU U,