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- 4 . - _ 1 _ a/R.dz d’où l’on tire en différentiaut

' </?’ * z' J

Cette équation serait celle de la trajectoire si la forceIl était donnée en fonction de z. Donc en la comparantavec l’équation (A) on doit pouvoir obtenir la détermi-nation de cette force. Reprenons donc l’expression

_ a' — e*

a- j-e. cos?

et metlons-la sous la forme

1 a-f-e.cos?

z a 1 — e 1

a , e.cos?a' —e 1 a' —e 1 '

En la différentiant nous obtiendrons

dz e.sin ?.cf?, z * a' —e’

ou

1 dz e.sin?

e.sin?

ce qui donne, en élevant au carré (p ),

1 dz ' e 2 . sin J ? e*(i—cos*?)

s 4 * </?* — (a*—e 1 )* ~ (a 1 —e*)>

_ e* e*.cos J ?

(a*—e*)* (a*—e 1 )*"

Or, l’équation (k) donne

a 1 — e*

— a

e.cos?

R

ne* 1(a*—e’) j*’

ou, simplement ( p),

en faisant

ae 1

a 1 — e*

P étant une quantité constante, il résulte de l’expres-sion (p) que l’intensité de la force R, en vertu de la-quelle une planète décrit une orbite elliptique autourdu soleil, est en raison inverse du carré de son rayonvecteur.

19. Pour savoir maintenant si la quantité^, qui expri-me l’intensité de la force h l’unité de distance, et quiest donnée en fonction des quantités a, e et c, dont lesvaleurs changent pour chaque planète, varie elle-mêmeen passant d’une planète à une autre , représentons parT le temps de la révolution d’une planète autour dusoleil , alors cTsera le double de l’aire décrite pendantce temps par son rayon vecteur ou le double de l’aiieentière de l’ellipse, et, comme cette aire est égale àit a. Va'—e ‘, nous aurons

cT = Zita . \/a' —e*

d’où

Zita -

= -rfT . Va'—, e*

Substituant cette valeur de c dans celle de p, on trouve

d’où, en élevant au carré ,

, , (a 1 —O* 2 a(a'—e 2 ) .

e'.cos 1 ? = -- — —i- -1 _l_ a i

7 z' z 1

et, en divisant par (a* — e 1 )*

e 1 ■ co s 1 ? _ i_ _ 2a 1 , a'

(a 8 —® a ) a z* (a 1 —e J ) * z ' (a*—e 1 )’

substituant dans {p ), on obtient

1 dz 3 e 3 1 , za 1 a'

z* </? 3 (a*—e-) a i 3 ' ( a' —e’) z (a 2 —a’)*

j

mettant cette valeur de . —— dans l’équation ( 0 )elle devient

f* =

4^* .a 3~T>~

Toute autre planète, dont a' serait le demi grand aire-T'le temps de la révolution et p' l’intensité de la forceaccélératrice à l’unité de distance , nous donnerait évi-demment de la même manière

4îr a •

rp7ï~ '

Mais en vertu de la troisième loi de Keppler,

donc

T* : T'» : : a 3 : a ' 3

4 it x . a 3 \it'a! i

, p"~ “’p'î - *

ùA ■

aac* 1 (a* — e‘)c* , ^ ,

(a* — e*) ’ z

et, conséquemment p=p'. Ainsi l’intensité de la force ac-célératrice, qui retient les planètes dans leurs orbites,