TR

x 3 —5x’4* 8x —4 — °

TR

. A,

X = y+ u , ou x=y—~

Cette transformation particulière étant une des plususuelles, nous ferons observer qu’elle s’effectue en rem-plaçant la variable x de l’équation proposée par uneautre variable diminuée du coefficient du second termedivisé par le nombre qui exprime le degré de l’équation.Soit, par exemple

* 3 — 5x* -j- Zx — ’j = o

l’équation dont il s’agit de faire disparaître le secondterme — 5-c’ ; nous ferons , parce que le coefficient 55

est négatif, x^=y -f- ^ , et nous trouverons

■* 3 = (jT + |) = + 5y* + —y +~

+ 3a: = -}- 3^y + £) = +3^ + 5

f e qui nous donnera, en prenant les sommes des coef-ficiens,

S il s agissait de faire disparaître le troisième te:»mede l’équation générale (a), il faudrait poser

m(m —i) , | , ,, , ,

—1- - u*4- (m— i)A,m 4- A, = o

1.3

et l’on aurait ainsi une équation du second degré à ré-soudre pour obtenir la valeur de u. La di-parition dutro sième tenue conduirait de même à une équation dutroisième degré ; et, en général, celle du terme affecté«le la puissance x m à une équation du degré n. De*orte que si l’on voulait faire disparaître le dernier ter-tt'e, on aurait à résoudre une équation du môme degré*l u e la proposée.

3. Transformer une équation en une autre dont lesPeines soient plus grandes ou plus petites que celles defa proposée , d’une quantité donnée.

Cctie transforma ion s’effectue de la même manièro«l uc la précédente, car il est évident que si à la place«le x dans l'équation générale (u) on substitue y ±.d, detu,J t une quantité déterminée, ou obtiendra une équa-tion en y dunl chaque racine différera d'une des racinesl’équ.itiou (a) de la quantité ±: d. ProposOus-nous ,far exemple, de transformer l’équation

JS65

en une autre , dont les racines soient plus petites quel’unité. Posons x = y -J- i.

La proposée deviendra

Cr +>) 3 -5(^4- i)’ + 8 (^ + i) — 4 =o,

et l’on obtiendra, après avoir développé les binômes etordonné par rapport aux puissances de,y,

y 3 — 2 -y'+y = o ,

équation dont une racine et évidemment^ = o. En di-visant par^, U reste l'équation du second degré

y'-V'-h 1 =°>

dont les racines sont y — i et y = i. Ainsi les troisracines de la transformée sont o, i et i , et par consé-quent celles delà pioposée i, î et 3 .

3. Transformer U équation générale (a) en une autredont les racines soient un multiple ou un sous-mullipledéterminé de ses racines.

Dans le cas du multiple, soit q le facteur donné. Po-tansqx = y d’où x et substituant - îi la place de

<7 <7

x, l’équation (a) deviendra

yn ym —I

Min '

yw-î

r -,+ A - -^zr 2 + etc... A m _, / 4 . A„

multipliant tout par q m , l’équation demandée sera

y m + A,. qy m ~ h.,. q'y m —• -|- etc... -f- A . < 7 ™-< .y

-f- A m < j”> = o

Les racines de cette dernière , divisées par q , don-neront celles de l’cquation (a).

Dans le cas du sous multiple, q étant toujours le

facteur donné, posons ^ = y, d’où x = qy, et nous

obtiendrons, en substituant,

qmyrn 4 . S. l q m -'y m ~ t + A ,qm-iym—s -fetc...A m - x qy

-j- A»i = o

qui, étant divisée par donne la transformée

A A

>4- —- y m ~ 1 -J- ~‘y m ~~ 1 4" etc.

Les racines de celle-ci multipliées par q feront connaîtrecelles de la proposée.

4. Transformer L’équation {a) en une autre dont lesracines soient de signes contraires.