TR

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Pour opérer cette transformation, il suffit évidem-ment de faire x = — y, car l’équation en .y aura pourracines négatives les racines positives de la proposée etvice versa. Mais en substituant — y à la place de x , lestermes affectés des puissances impaires de — y change-ront seuls de signe. Ainsi il est facile de voir que pourrendre négatives les racines positives d’une équationproposée, et positives ses racines négatives, il faut sim-plement changer les signes des termes affectés des puis-sances impaires de*. Si l’on avait par exemple l’équa-tion

x 5 — 4 x3 + 3** — 8x + 9 = o ,

en donnant le signe — aux termes qui renfermentdes puissances impaires de x , on aurait une trans-formée

TR

de position par rapport aux premiers. Les coordonnéesAP et PO d’un point O de la courbe, suivant les pre-miers axes, étant désignées par x et y, et les coordon-nées A'P' et P O’ du même point, suivant les derniersaxes, étant désignées par x' et y', il s’agit de trouverl’expression de a: et de y en fonctions de x' et dey,car les valeurs dex et,y en x' et y' étant connues, ilsuffit de les substituer dans l’équation y = F* pouravoir l’équation de la courbe exprimée en x' ety, etconséquemment rapportée aux axes A'X' et A'Y'.

Or, la position dusecond système d’axes étant connue,menons par le point A', BY" parallèle à AX et A'X 1 ' pa-rallèle à AX. Faisons AB = a , A'B = b ; l’angleX'A'X" = a, l’angle Y'A'X" = «', et l’angle Y"A'X"» YAX = p. En menant P'E parallèle à AX et P'Cparallèle à AY, nous aurons , (a) ,

— x 5 + 4x 3 -f- 3x> -J- 8 x-f- 9 = 0

AP = x = AB + BP = a + A'C + CD

dont les racines seraient égales, mais de signes contrai-res à celles de la proposée. Comme en changeant tousles signes l’équation ne varie pas, cette dernière est lamême chose que

x 5 — 4* 3 — 3x J — 8x — 9 = 0.

D’où l’on voit que lorsque l’équation est de degré im-pair on change le signe de ses racines en changeant lesigne de ses termes affectés des puissances paires de x.On doit alors considérer le terme absolu comme affectéde *°.

Nous avons employé plusieurs autres transformationsaux mots Elimination, Equation et Racine.

PO = y = A'B-fOD=ù-f- CP' + EO,

mais les triangles A'CP', OP'E donnent (voy . Trigono-métrie)

1 °...

. A'C

: A'P'

: : sin A'P'C

: sin A'CP'

2 °...

. CP'

: A'P'

: : sin P'A'C

: sin A'CP'

3»...

. P'E

: OP' :

: : sin P OE

: sin P'EO

4°...

. EO

: OP' :

: : sin OP'E

: sin P'EO

ce qui

est la :

même chose,

i°...

. A'C

: x' : :

sin (p — a)

sin p

TRANSFORMATION DES COORDONNÉES.( Ge’om.) C’est l’opération par laquelle on change lesaxes des coordonnées d’une ligne ou d’une surface, etpar conséquent ces coordonnées elles-mêmes.

La transformation des coordonnées est une des ope-rations les plus importantes de la géométrie dite ana-lytique ; elle facilite la recherche des propriétés descourbes , en donnant les moyens de les exprimer parles équations les plus simples , et fait souvent reconnaî-tre immédiatement certaines de ces propriétés qu’onne pourrait découvrir que très-difficilement par d’au-tres moyens. Le but de cette transformation est énoncédans la proposition générale suivante : U équationfl’une courbe , rapportée h deux axes quelconques ,étant donnée, trouver l’équation de la même courberapportée à deux autres axes. Nous allons traiter laquestion dans tous ses détails.

Soit MON (PI. 58, fig. i5) une courbe quelconquedont l’équation y— Fx est rapportée aux axes AX etAY, et scient A’X' et A'Y' deux nouveaux axes donnés

d’où

A'C =r • r '- sin (i 3 — g )

sin p

CP' : x' : : sin a : sin p

d’où

CP' =

3°.

sin p

P'E : y* : : sin(/3 — a') : sin p

d’où

P'E

y. sin (p— a 1 )sin p

4»..

d’où

EO : y : : sin a' : sin p

EO

y'.sin a'sin p

Substituant les valeurs de A'C, CP', P'E, EO dau»les expressions (a) de x e* J nous obtiendrons