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TR

x = a -f-

a'sin QS—a) 4 -J''sin(p—«')siu /?

TR

x'sin a -fycos «

2- y = ù +

x'sin a -J-ysinasin /3

Ces valeurs de x et de y , substituées dans 1 équation•le la courbe, transformeront cette équation en une au-tre équivalente, qui ne contiendra plus que les varia-bles y, et qui sera conséquemment rapportée auxnouveaux axes A'X', A'Y'.

Eu donnant aux droites a et b et aux angles a et ades valeurs convenables , il est facile de déduire desformules générales (i) et (a) toutes les formules parti-culières correspondantes à toutes les positions desnouveaux axes. Ces formules particulières comprennentquatre cas principaux que nous allons indiquer.

I. L’origine ri!étant pas la même , les nouveaux axessont parallèles aux anciens. Dans ce cas , les nouveauxaxes sont A'X', A'Y" et l’on a et = o, a' = /3 ; d’où

sin(] 3 —a) = siu| 3 , sin(£— a!) = o, sina = o, sina' = sin /3Les formules (i) et (a) deviennent alors simplement

3. ... x = x' -f- a

4 --- - y=y + b -

II. Les premiers axes étant rectangulaires , les se-conds sont obliques. Alors ]3 = 90°, et l’on asin /3 = 1, sin(| 3 — a) = cos a , sin(| 3 — a') = COS a'et les formules deviennent

5 . ... x = x'cosa -f- y cosa -f -a

6. ... y = x'sina-|~ysin«' -j- b.

III. Les deux systèmes d’axes sont rectangulaires.On a dans ce cas

Dans toutes ces formules, a et b sont les coordonnéesde l’origine des nouveaux axes par rapport aux an-ciens ; ainsi en faisant a — o et b = o , on exprimera,dans les quatre cas ci-dessus, la circonstance que l’onveut seulement changer la direction des axes sans dé-placer l’origine. Si l’on fait seulement a =. o, la nou-velle origine sera placée sur l’axe desj-, comme, si l’onfait seulement b = o , elle sera placée sur l’axe des x.

Nous allons montrer par un exemple comment onpeut employer ces transformations pour simplifierl’équation d’une courbe. L’équation générale du cerclerapportée à des axes rectangulaires est (voy. Applica-tion, 24)

x % — ?.qx -f-y — 2 py + q 1 + p 1 —- r» = o

dans laquelle r désigne le rayon , p la distance du cen-tre à l’axe des^ et q la distance du centre à l’axe des x.Pour rapporter cette équation à d’autres axes rectangu-laires , substituons à la place de x et de y les valeursdonnées par les expressions (7) et (8), l’équation trans-formée sera

x' 1 -|- 2 [ (a — q) cosa -J- (b — p) sina]x' 1-f- y 3 — 2 [ (a— q) sina — ( b — p) cosajy' l = o-f- a» -f- b 1 -J- p 3 -f- y — laq — 2 bp — r 1 )

Cette équation est à la vérité plus compliquée que laproposée, mais il y entre trois quantités arbitraires a ,b e ta dont on peut disposer à volonté pour la simpli-fier. Or, il est facile de voir qu’en faisant a = q etb=p non seulement les termes affectés de x' et deydisparaissent, mais qu’elle se réduit à

x'‘+y’* —r* = o

P = 90 °, a' = 90 ° -J- a, sin/3 = I, sin(/3—a) — cos asin( 8 —a') = cosa' = cos( 90 °-J-a) = — sina, sina — cos a

te qui donne

7 .. .. x — x'cos a —ysin a -f- a

8 .. .. y = x'sin a -J- y cos a + b

IV. Les premiers axes sont obliques et les secondss °nt rectangulaires. Alors a' = 90 ° -J- a ; d’où

sin a'= cos a , sin (f — a') = sin (/3 — 90 ° — a)

= — sin[go° — (/3—a)] = — cos(/3 — a)

el les formules deviennent

, x'sin(/3—a)—ycos(/3—a)

9 ....* = a+-Sïp-

à cause de? 1 + a 1 = 27% b x -\-p x = ap 1 et de aaÿ =29*2 bp = 2 p’.

Or, en faisant a= q et ù = p, on a transporté l’ori-gine au centre du cercle; ainsi l’équation du cercle rap-portée au centre est la plus simple de toutes. De plus,cette équation est toujours la même, quelle que soit laposition des axes, pourvu qu’ils soient rectangulaires,car l’angle a reste indéterminé.

La transformation des coordonnées rectilignes encoordonnées polaires a été traitée au mot Polaire.

TllANSPOSITION. [Alg.) Expression dontonsesertpour désigner le changement de place que l’on faitéprouver à un terme d’une équation en le transportantd’un membre dans l’autre. Si l’on a par exemple l’équa-tion x 3 -j- 4* 4* 8 = 16 , et que l’on fasse passer le