des deux modes primitifs et opposés de la générationde l’étendue.

La ligne droite, l’angle et la ligne courbe, tels sontdonc les élémens primitifs de la génération de l’étendue,et il ne peut exister pour l’intelligence aucune espèced’étendue que celle qui se trouve immédiatement fon-dée sur ces trois élémens, ou qui est dérivée de leurcombinaison.

3. La combinaison des trois modes primitifs, que nousvenons de signaler, donne naissance à l’étendue déri-vée nommée surface , laquelle a deux dimensions ; etpar la réunion systématique des surfaces et des lignes onengendre l’étendue nommée solide , laquelle a trois di-mensions. Ces déductions sont assez évidentes pourquenous ne croyions pas avoir besoin de nous y arrêter.

Les lignes, les surfaces et les solides sont les objetsnécessaires de la théorie géométrique, et par conséquentceux de toute la géométrie générale.

4. Le but de la technie est, comme nous l’avons ditplusieurs fois, la construction universelle des quantitéssoit numériques , soit géométriques, à l’aide d’autresquantités arbitraires de même espèce prises pour me-sures , elle exige donc l’emploi de moyens propres àparvenir à cette construction universelle. Or, pour cequi concerne la géométrie , ces moyens peuventêtre de deux natures différentes; les uns, commemoyens primitifs, sont puisés dans les lois de l’étendueelle-même; les autres, comme moyens dérivés, sont ti-rés de l’application des lois générales des quantités àl’étendue. Les moyens primitifs ou géométriques sontles intersections des lignes et leurs projections ; lesmovens dérivés ou algébriques sont la construction desrapports et la réduction de toute espèce d’étendue àl’étendue primitive et discontinue : la ligne droite , àl’aide des coordonnées ; chacun de ces moyens est l’objetd’une branche particulière de la géométrie. Ainsi lagénération technique de l’étendue par le moyen de 1 in-tersection des lignes est l’objet de la géométrie destransversales; cette génération, par le moyen desprojections , est l’objet de la géométrie descriptive ;et, enfin, cette même génération, par le moyen élémen-taire de la construction des rapports , et par le moyensystématique des coordonnées , est le double objet de lagéométrie dite analytique. {Voy. Géométrie.)

5. La géométrie des transversales a été réunie pourla première fois en corps de doctrine par Carnot, dansson ouvrage intitulé géométrie de position; maisl’emploi de ces lignes ne parait pas avoir été entière-ment inconnu des Grecs , car il résulte des notes deï'appus sur le livre, malheureusement perdu, desPorismes d’Euclide, que ce grand géomètre s’étaitservi dans cet ouvrage des intersections des lignes et decertaines constructions générales, pour obtenir la solu-

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tion de plusieurs problèmes très-compliqués. Plus tard,Ptolémée , dans son dlmageste, a fait un usage direct destransversales sphériques pour résoudre quelques pro-blèmes d’astronomie. Quoiqu’il en soit des notions plusou moins éteudues que les anciens ont pu avoir sur cettepartie technique de la géométrie , elle ne date parminous que de l’ouvrage de Carnot, et ses développemenssont entièrement dus aux géomètres de notre époque.Nous allons faire connaître les propositions fondamen-tales des transversales rectilignes, et nous indiqueronsquelques-unes des nombreuses applications qu’on peuten faire à la géométrie pratique.

6. Proposition I. Les trois côtés d’un triangle étantprolongés indéfiniment, si on mène une transversale quiles coupe tous trois, on aura sur chaque côté deuxsegmens tels que le produit de trois d’entre eux , noncontigus, est égal au produit des trois autres.

Eu effet, soit ABC (PI. 58, fig. 16) un triangle quel-conque, et M, N, O les points où la transversale coupeses côtés ou leurs prolongemens. Chacun de ces pointssera l’origine des deux segmens formés sur chaque côtépar la transversale. Par exemple , pour le côté AB, lessegmens seront MA , MB ; pour le côté AC , les seg-mens seront NA , NC ; et pour le côté BC , les segmensseront OB , OC. Ceci posé, par le sommet de l’un desangles du triangle, A par exemple, menons une paral-lèle au côté opposé BC, et qui rencontre en D la trans-versale; les triangles semblables MAD, MBO donne-ront

MA : MB : : AD : BO

on aura encore, par les triangles semblables NAD, NCO ,NC : NA : : OC : AD.

Multipliant ces deux proportions terme par terme, puisformant le produit des extrêmes et celui des moyens dela proportion résultante, ou obtiendra, en retranchantle facteur commun AD , (a)

MA.NC.OB = MB.NA.OC

C’est la proposition énoncée, car les trois facteurs dechaque produit sont des segmens non contigus.

7. Corollaire 1. Lorsque la transversale devient pa-rallèle à l’un des côtés du triangle , on doit considérerle point où elle le rencontrait comme situé à l’infini ;alors les segmens qu’elle déterminait sur ce côté sonttous deux infiniment grands et par conséquent égaux.Supposons donc que la transversale soit parallèle à AB,et nous aurons

MA = MB = 00 ,

retranchant ces facteurs égaux de l’égalité (a), il vient

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