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TR

NC.OB = NA..OC

OU ,

NA : NC :: OB : OC.

Ainsi, dans ce cas, les deux points de division N et Odéterminent sur les côtés AC et CB des segmens pro-portionnels, et il en résulte que toute transversale pa-rallèle h la base d'un triangle coupe les deux auliescôtés , prolongés s’il est nécessaire en segniens propor-tionnels.

8. Corollaire a. Si la transversale passait au milieud’un des côtés, de BC, par exemple, on auraitOU = OC, et l’égalité (a) donnerait

MA : MB :: NA : NC.

D’où il résulte encore que toute transversale qui passeau milieu de la base d'un triangle coupe les côtés ensegniens proportionnels.

g. Proposition II. Si d’un point quelconque D prissur le plan cF un triangle AUC (PI. 58, fig. 17 et iy bis),on mène, sur chacun des côtés, une transversale quipasse par le sommet de l'angle opposé , on obtiendrasur chaque côté, prolongé s’il est nécessaire, deux seg-mens tels que le produit de trois segniens non contigusest égal au produit des trois autres.

Les segmens sont ici, soit que le point D soit pris dansl’intérieur du triangle ou qu’il soit pris au dehors, MAet MB pour le côté AB ; NA et NC pour le côté AC jOB et OC pour le côté BC- Or, en considérant seule-ment le triangle ABO comme ayant ses trois côtéscoupés par la transversale CM, nous avons, en vertu dela proposition précédente ,

AM.OD.BC = MB.AD.OC ,

de même, en considérant seulement le triangle ACOcomme ayant ses trois côtés coupés par la transversaleBN , nous avons par la même raison ,

AD.NC.OB = AN.OD.BC.

Multipliant ces deux égalités terme par terme, et re-tranchant les facteurs communs, il vient (b)

MA.NC.OB = MB.NA.OC ,

ce qui est la proposition énoncée.

10. Corollaire 1. Si l’une des trois transversales, ODpar exemple, passe par le milieu du côté opposé ausommet de l’an gle dont elle part, ou aura

OB = OC

et l’égalité ( b) se réduira à

MA.NC = MB.NA,

ou, ce qui est la même chose, à la proportion

TR

MA : MB : : NA : NC ,

c est-a-dire, que dans ce cas, les deux autres transversalesdéterminent des segmens proportionnels sur les côtésqu elles coupent. Donc si l’on menait une droite par lespoints M et N, cette droite serait parallèle à BC , carelle formerait un triangle AMN qui serait semblable autriangle ABC (voy. Triangle), puisque ces deux trian-gles auraient un angle égal compris entre des côtés pro-portionnels.

Il résulte de ces considérations la proposition sui-vante : la base d’un triangle étant partagée en deuxparties égales par une droite tirée du sommet, si d’unpoint quelconque de cette droite on abaisse , sur cha-cun des autres côtés, une transversale passant par lesommet de l'angle opposé, les points où ces transver-sales rencontreront les côtés, ou leurprolongemenl, ap-partiendront h une droite parallèle h la base.

11. Corollaire 1 . Supposons qu’une des trois trans-versales, DC par exemple (PI. 58, fig. 18), soit parallèleau côté AB opposé au sommet de l’angle par lequel ellepasse ; les deux segmens MA et MB deviendront infi-niment grands, et l’on aura MA = MB, ce qui rendral’égalité (b)

NC.OB = NA. OC,

d’où

NA : NC :: OC : OB,

c’est-à-dire, encore, que les points d’intersection O etNdes transversales déterminent sur les côtés AC et BCdes segmens proportionnels. Donc si par ces points O etN on fait passer une transversale ON , elle partagera lecôté AB en deux parties égales (n° 8); et, conséquem-ment,

Si d’un point quelconque d’une droite parallèle à labase d'un triangle on abaisse sur chaque côté unetransversale passant par le sommet de l’angle opposé,les points où ces transversales rencontrent les côtés ouleur prolongement déterminent une droite qui partagela base en deux parties égales.

12. Les propositions I et II sont les fondemeus detoute la géométrie des transversales rectilignes. Nonseulement elles donnent les moyens de résoudre la plu-part des problèmes géométriques à l’aide de la règleseule sans employer les arcs de cercle, mais leur appli-cation à l’arpentage rend inutile, dans un très-grandnombre de cas, l’emploi des instrurnens pour mesurerles angles et n’exige que celui des jalons. Les questionssuivantes vont donner des exemples de ces diversesapplications.

Problème i. Par un point donné M (PI. 58, fig. 17 )mener une parallèle a la droite donnée BC.

Avant pris à volonté sur BC deux parties égales