m

TR

TR

Le 9 divers rappurts que peuvent avoir respectivemeutentre eux les côtés et les angles d’un meme triangledéterminent sa nature. Selon ces divers rapports lestriangles reçoivent des dénomiuations particulières.Ainsi lorsque les trois côtés d’un triangle sont égaux, onle nomme triangle équilatéral ; lorsque deux seule-ment de ses côtés sont égaux, on le nomm c triangleisocèle; et si ses trois côtés sont inégaux, il reçoit lenom de triangle scalène. Telle est la classification destriangles considérés par rapport à leurs côtés.

Par rapport aux angles, on nomme triangle rectan-gle celui dont un des angles est droit; triangle obtus-angle celui dont un des angles est obtus , et triangleacutangle celui dont les trois angles sout aigus.

a. On nomme indifféremment sommet d’un triangle lesommet d’un quelconque de ses angles; et alors le côtéopposé à cet angle prend le nom de base. La distancedu sommet à la base se nomme la hauteur du triangle.Comme on mesure généralement la distance d’un pointà une droite par la perpendiculaire abaissée de cepoint sur cette droite, on dit encore que la hauteurd'un triangle est la perpendiculaire abaissée du sommetsur la base. Ou prend ordinairement pour base d’untriangle isocèle le côté inégal aux deux autres.

3. La somme de deux des côtés d’un triangle est tou-jours plus grande que le troisième côté. Cette propriétéest évidente et résulte de la notion primitive que laligne droite est la plus courte entre deux points.

Les trois côtés d’un triangle n’ont point d’autre rela-tion générale que celle d’ôtre assujétis à cette condition.Leur somme peut être une quantité quelconque varia-ble à l’infini, et sur une même droite on peut construireune infinité de triangles différens dont les deux autrescôtés n’ont entre eux aucun rapport nécessaire de gran-deur. Il n’en est pas de même de» trois angles; leursomme est une quantité constante toujours égale à lasomme de deux angles droits.

4- L’égalité de la somme des trois angles de touttriangle à deux angles droits est une proposition fon-damentale dont nous n’avons à exposer ici que les con-séquences, l’ayant démontrée ailleurs (voy. Angle, 8 ).Il en résulte, i° qu’un triangle ne peut avoir qu’unseul angle droit et à plus forte raison qu’un seul angleobtus; 2 0 que les trois angles d’un triaugle sont connuslorsqu’on eu connaît deux seulement, car il suffit, pourobtenir le troisième, de retrancher la somme des deuxangles connus de celle de deux angles droits; 3° quedans un triangle rectangle la somme des deux anglesaigus est égale à un angle droit. Il suffit donc aussi deconnaître uu de ces angles pour que l’autre soit immé-diatement connu ; 4 ° enfin, que lorsque deux des anglesd’un triangle sont respectivement égaux à deux des

angles d un autre triangle, les troisièmes angles sontégaux.

5. Les propriétés les plus importantes qui résultentde la construction même des différens triangles et con-stituent leur nature font l’objet des théorèmes suivans.

Theoreme. Dans un triangle isocèle les angles oppo-ses aux côtés égaux ou, comme on le dit, les angles à labase, sont égaux.

Soit BAC un triangleisocèle dont les côtéségaux sont AB et AC.

Si avec AB commerayon on décrit un cer-cle , ce cercle passeranécessairement par l’ex-trémité C du côté AC ,de sorte que le côté BC

en deviendra une corde. Ceci posé, menons le rayonAD qui partage l’arc BDC en deux parties égales, etconcevons le cercle replié en deux sur lui même sui-vant la droite AD; 1 arc DC se confondra alors avecl’arc AD, et comme ces arcs sont égaux, le point Ctombera sur le point B. Ainsi, non seulement MCcoïncidera avec MB, mais encore AC avec AB, puisqueles extrémités de ces diverses droites se confondent.Donc l’angle ACM est égal à l’angle ABM. Donc les an-gles à la base d’un triangle isoièle sout égaux. La réci-proque de cette proposition se démontre sans difficulté.

7 . Il résulte de cette démonstration plusieurs consé-quences importantes que nous devons signaler. i° Puis-que les deux triangles AMC et AMB se confondent, lesangles au point M, c’est-à-dire, les angles AMB et AMCsont égaux; ainsi ces angles sont droits (Angle, i).2 0 Les angles BAM etMAC sout égaux. 3°Enfin BM estégal à MC. Donc, la droite qui partage en deux partieségales l'angle au sommet d’un triangle isocèle est per-pendiculaire h sa base, et partage en outre cette baseen deux parties égales.

8 . Une conséquence directe du théorème précédent,c’est que les trois angles d'un triangle équilatéral sontégaux. Eu effet deux quelconques des angles d’un teltriaugle sont égaux entre eux, puisqu’ils sout opposés àdes côtés égaux; ainsi les trois angles sout égaux.

9. Théorème. Lorsque dans un triangle deux anglessont inégaux, le plus grand des deux est opposé au plusgrand côté, et réciproquement.

Soit dans le triangle ABC (PI. 58, fig. 22 ) l’angleBCA plus grand que l’angle BAC, le côté AB sera plusgrand que le côté BC. En effet, l’angle BCA étant plusgrand que l’angle BAC, on peut supposer une droite CDmenée de manière à faire avec le côté AC un angleDCA égal à l’angle BAC. Alors le triangle ADC ayant