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Jeux angles r’gaux sera isocèle (6) et les côtés AD et CDseiont égaux ; mais on a

CD + DB > BC

et, par conséquent, puisque CD = ADAD + DB > BC

donc AD plus DB ou AB est plus grand que BC.

La réciproque devient évidente.

10. Ce qui précède est suffisant pour nous permettred’aborder la comparaison théorique des triangles. Or,cette comparaison peut s’effectuer sons trois conditionsdifférentes. 1” Les triangles comparés sont tels que,l’étendue de leur surface étant la même, la relation deleurs limites soit aussi la même; 2° ou bien, l’étenduede la surface étant encore la même, la relation deslimites est différente; et 3° enfin, l’étendue de la sur-face étant différente la relation des limites est la même.Dans le premier cas, les triangles sont dits ccïncidens ;dans le second , équivalens, et daus le troisième, sem-blables. La coïncidence , l 'équivalence et la similitudeforment en général les trois parties de la comparaisongéométrique.

11. Coïncidence. Deux triangles peuvent coïncider°u sont égaux lorsque trois des six parties qui les consti-tuent et au nombre desquelles il doit se trouver aumoins un côté sont égales entre elles. Cette propositiongénérale delà coïncidence des triangles fournit les théo-ternes suivans :

• 2. Théorème. Deux triangles qui ont un anglee gal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun,sont égaux dans toutes leurs parties.

Soient ABC et abc (PI. 58, fig. 19) deux triangles danslesquels l’angle A est égal à l’angle a , le côté AB égalau côté ab et le côté AC égal au côté ac. Ces deux trian-gles peuvent coïncider.

Car si l’on imagine le triangle abc transporté sur letriangle ABC de manière que l’angle a se confondeavec l’angle A, alors le côté ab prendra la direction ducôté AB, et comme ces côtés sont égaux le point btombera sur le point B. De même, le côté ac prendrala direction du côté AC et, à cause de l’égalité de cescôtés, le point c tombera sur le point C. Mais puisque lesextrémités du côté bc se trouvent ainsi confondues aveccelles du côtéBC, ces côtés eux-mêmes ne peuvent quecoïncider, et il eu résulte que les deux triangles coïnti-Jent dans toutes leurs parties. Donc ces deux trianglessont égaux et les angles B et b , C et c ainsi que les côtésUC et bc sont respectivement égaux entre eux.

* 3 . Théorème. Deux triangles qui ont un côté égaln djacent « deux angles égaux chacun h chacun sontégaux.

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Soient BC et bc (PI. 58, fig. 19) les côtés égaux etB et b, C et c les angles égaux. Si l’on transporte letriangle abc sur le triangle ABC de manière que lecoté bc se confonde avec son égal BC , il est évidentque, puisque l’angle b est égal à l’angle B, le côté belprendra la direction du côté BA et que le point a devratomber quelque part sur cette direction. De mêmel’angle c étant égal à l’angle C le côté ca prendra ladirectiou du côté CA, et le point a devra égalementtomber quelque part sur la direction de CA. Mais cepoint a devant tomber en même temps sur les deuxcôtés BA et CA ne peut tomber qu’au point A qui leurest commun; ainsi les deux triangles coïncident exac-tement et sont égaux dans toutes leurs parties.

14. Théorème. Deux triangles qui ont leurs t^oiscôtés égaux chacun a chacun sont égaux.

Soient les triangles (PL 58, fig. 19) ABC et abc dontles trois côtés sont respectivement égaux, savoir :AB = ab, AC = ac, BC = ôc. Transportons le trian-gle abc sous le triangle ABC (PL 58, fig. 20) de manièreque les deux côtés égaux bc et BC coïncident et que lesautres côtés égaux AB et ab , AC et ac soient adjacens.Le pointa tombera quelque part en a'et letriaDgle abçprendra la position «'BC. Si nous joignons les points Aet a' par la droite A a!, les triangles ABa' et ACa' se-ront l’un et l’autre isocèles, puisque par hypothèseAB = Ba'ct AC = Ca'. Donc les angles à la base de costriangles sont respectivement égaux, c’est-â- dire ,

angle BAa' = angle Ba'Aangle CAa' = angle Ca'A ,

mais les deux angles BAa' et CAa' qui composent l’an-gle A étant égaux aux deux angles Ba'A et Ca'A quicomposent l’angle a', ces angles A et a' eux-mêmes sontégaux, ou, ce qui est lamême chose, les angles A et a destriangles ABC et abc sont égaux. Donc, en vertu duthéorème du n° 12, les deux triangles ABC et abcsont égaux.

1 5 . Théorème. Deux triangles rectangles qui ont l’hy-pothénuse et l’un des angles adjacens égaux chacun àchacun sont égaux.

La somme des trois angles de tout triangle étant équi-valente à celle de deux angles droits ( voy. Angle 8),deux triangles rectangles ne peuvent avoir deux deleurs angles aigus égaux sans que les deux autres lesoient aussi. On peut donc considérer les triangles pro-posés comme ayant un côté égal adjacent à deux angleségaux chacun à chacun; ainsi la proposition énoncée setrouve démontrée par le théorème du n° i3.

16. Théorème. Deux triangles rectangles qui ont deuxcôtés égaux chacun h chacun sont égaux.

Nous avons seulement à examiner le cas où les côtés