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égaux chacun à chacun sont l’hypothénuse et l’un descôtés de l’angle droit , car lorsque ces côtés égaux sontceux de l’angle droit l’égalité des triangles résulte duthéorème du n° 12. Soient donc ABC et abc (PI. 58 ,fig. 21) deux triangles rectangles dans lesquels leshvpothénuses BC et bc sont égales, ainsi que les côtésAC et ac.

Du point O, milieu de l’hypothénuseCB, décrivonsavec CO pour rayon une demi-circonférence de cercleCMAB; cette demi circonférence passera par le point Apuisque l’angle CAB estdroit (Angle 19). De même, dupoint o milieu de cb avec oc pour rayon décrivons unedemi-circonférence qui passera par le point a. Or, cesdeux demi-circonférences sont égales puisqu’elles ontdes diamètres égaux; ainsi les arcs CMA, enta souten-dus par descordes égales AC, ac , sont égaux (Cercle 5 ),mais les angles CBA et cba ont pour mesures les moitiésde ces arcs (Angle 17) ; dune ces angles sont égaux.

Les troisièmes angles C et c des triangles proposéssont donc aussi égaux, et l’on peut simplement consi-dérer ces triangles comme ayant un angle égal comprisentre deux côtés égaux chacun à chacnn , d’où résulteleur entière égalité d’après le théorème du n° 12.

17. Théorème. Deux triangles qui ont deux côtés etl'angle opposé à l'un d’eux égaux chacun à chacunsont égaux, si l’angle opposé à l'autre côté est de mêmenature dans les deux triangles.

Soient ABC et abc deux triaugles (PI. 5}, fig. 20.)dans lesquels les côtés AC et ac , CB et cb sont égauxainsi que les angles A et a opposés aux côtés CB et cb.Ces triangles seront égaux si les angles B et b opposésaux côtés AC et ac , sont de même nature, c’est-à-dires’ils sont tous deux aigus ou tous deux obtus.

Car, en abaissant des points C et c sur les côtés ABet ab, prolongés s’il est nécessaire , les perpendiculaireCD et cd, on formera deux triangles rectangles CDA eteda qui sont égaux (i5), comme ayant leurs hypothé-uuses AC , ac égales ainsi que tous leurs angles ; l’an-gle aigu A étant égal à l’angle a , l’autre angle aiguACD est égal à l’angle acd (4).

Il est facile de voir que les deux triangles rectanglesCBD , cbd sont aussi égaux (16), car ils ont leurs hy-pothénuses CB et cb égales par hypothèse, et de plusleurs côtés CD et cd sont égaux , comme appartenantaux triangles égaux CDA , cda.

Mais, le triangle abc esl formé de la somme des deuxtriangles rectangles acd, cdb , si l’angle b est aigu, et deleur différence, si l’angle b est obtus, et le triangle ABCest également formé de la somme des deux trianglesîeciangles ACD , CDB, si l’angle B est aigu, et de leurf.ibércnce si cet angle est obtus. Donc lorsque ces an-gles B et b sont tous deux aigus ou tous deux obtus, les

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triangles ABC et abc, étant la somme ou la différencede triangles égaux , sont égaux.

18. Equivalence. Deux triangles , et , en général,deux polygones quelconques sont dits èquivalens, lors-que l’étendue de leur surface ou leur aire est la même,quoique la relation de leurs limites soit différente. Dansce cas, les deux figures transportées l’une sur l’autre nepeuvent plus coïncider, et il faut avoir recours à d’au-tres procédés de raisonnement pour pouvoir démontrerl’égalité des surfaces. Or, nous avons établi (voy. Aire )que :

i° La surface d’un triangle esl équivalente à la moi-tié de celle d’un rectangle de même base et de mêmehauteur.

2° L’aire d’un rectangle esl représentée par le produitde sa base et de sa hauteur.

Les conséquences de ces deux propositions formentles théorèmes suivans que nous pouvons nous contenterd’énoncer.

18. The'orème. Deux triangles de même base et demême hauteur sont èquivalens.

19. The : orème. L’aire d’un triangle est égale à lamoitié du produit de sa base par sa hauteur.

20. Théorème. Deux triangles de même base sontentre eux comme leurs hauteurs.

21. Théorème. Deux triangles de même hauteur sontentre eux comme leurs bases.

22. Théorème. Deux triangles quelconques sont en-tre eux comme les produits de leurs bases et de leurs hau-teurs.

23. Les théorèmes forment la base de toute l’équiva-lence des triangles dont les diverses propositions peu-vent en être déduites avec facilité. Ainsi, par exemple,on démontre que le carré construit sur l’hypothénuseet un triangle rectangle esl équivalent à la somme descarrés construits sur les deux autres côtés , à l’aide del’équivalence qui existe entre le triangle et la moitié durectangle de même base et de même hauteur. Commenous démontrerons plus loin, d’une autre manière, cettecélèbre propriété du triangle rectangle et qu’il nous estimpossible d’ailleurs de rapporter en détail toutes cellesdes triangles, nous terminerons cette partie de la com-paraison géométrique par l’exposition du théorème sui-vant , essentiel pour ce qui va suivre.

24. Deux triangles qui ont un angle égal de part etd’autre sont entre eux comme les produits des cotesqui forment ces angles.

Soient ABC et abc deux triangles dont les angles Aet a sont égaux. Prenons sur le côté AB une partie Buégale à ba et sur le côté BC une partie B b égale

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