TR

& bc , et menons la droite a'b'. Le triangle B a'b' seraégal au triangle abc, car ces deux triangles ont un an-gle égal compris entre deux côtés égaux chacun à cha-cun (12). Ceci posé,menons la droite A b'et remarquons queles deux trianglesBa'ô' et B.U>' ayantmême hauteur sontentre eux commeleurs bases (ai), cequi donne

ABô' : B a'b' :: AB : : a’ B;

mais les deux triangles BAC et ABZ>' ont aussi mêmehauteur, et donnent par la même raison

BAC : ABô' : : BC : Bô'.

Donc, multipliant ces deux proportions terme parterme, on obtient

BACXABÔ': ABÔ'XBa'^' : : ABXBC : a'BXBô’.

Ainsi, retranchant du premier rapport le facteur com-mun AB b', et remplaçant B a'b' par son égal bac , et«'BxB6 r par abyj>c , il vient

BAC : bac : : ABX®c : aby,lc,

ce qui est la proposition énoncée.

a 5 . S imilitude. On nomme triangles semblables ceuxqui ont leurs trois angles égaux chacun à chacun, etdont les côtés homologues sont proportionnels. Par cô-tés homologues on entend les côtés opposés à des angleségaux. Les propositions principales de la similitude destriangles-sont les suivantes :

26. Théorème. Deux triangles qui ont leurs trois an-gles égaux chacun à chacun sont semblables.

Soient ABC et abc deux triangles dans lesquels l’an-gle A est égal à l’angle a , l’angle B égal à l’angle b etl’angle C égal à l’angle c. Ces triangles ont leurs côtéshomologues proportionnels, et sont par conséquentsemblables.

Bn effet, puisque les an- b. 1

gles A et a sont égaux, lestriangles ABC et abc sontentre eux comme les pro-duits des côtés qui formentces angles (24), et l’on a

A. • c

ABC : abc : : ABXAC : abX a c\mips on a aussi, à cause de l’égalité des angle» B et b ,

TOME II,

TR

ABC : abc : : ABXBC : aby,bc,et, à cause de celle des angles C et c ,

ABC s abc : : ACXBC : acX.bc.

Les premiers rapports étant les mêmes dans cestrois proportions, on en conclura successivement

ABXAC : aby.ac : : ABXBC : abX.bcABXBC : abX.bc : : ACXBC : acXbe.

Divisant lesantécédens de la seconde proportion par AB,et les conséquens par ab •, puis les antécédrus de la se-conde proportion par BC et les conséquens par bc, ouaura

AC : ac : : BC : bcAB : ab : : AC : ac

c’est-à-dire, la suite de rapports égaux

AB : ab : : AC : ac : : BC : bc.

Donc les côtés homologues des triangles ABC et abcsont proportionnels, et ces triangles sont par conséquentsemblables.

2y. Corollaire I. Deux triangles qui ont leurs côtésrespectivement parallèles sont semblables.

Car, soient les deux trian- -g g

gles ABC , abc dont les côtésAB et ab , AC et ac, BC etbc sont parallèles, les an-gles A et a , B et b, C et cétant formés par des côtés À n C 0

parallèles , il est facile de voir, en prolongeant les côtéscomme ils le sont dans la figure, que ces angles sontrespectivement égaux.En effet les deux angles A et a sontchacun égal à l’angle bno comme correspondans (an-gle, 6 ), et les deux angles C et c sont chacun égal àl’angle 0 par la même raison. Donc A = a, C = c etpar suite ( 4 ) B = b.

28. Corollaire II. Deux triangles qui ont leurscôtes respectivement perpendiculaires sont semblables.

a

Soient ABC et abc deux triangles dont les côtés ABet ab, BC et bc, AC et ac sont respectivement per-

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