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TR

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Ad : Bd : : Ce : Be

fendiculaires, les angles de ces triangles sont égauxchacun à chacun. Car, menant du point B la perpendi-culaire B m au côte BC et la perpendiculaire B« aucôté AB, ces perpendiculaires seront parallèles auxcôtés ab et le du triangle abc , puisque ces côtés sonteux-mêmes perpendiculaires à BC et AB. L’angle nB/nsera donc égal à l’angle b. Mais les deux angles AB/i,CBnisont égaux comme droits, et, si on leur retranche dechacun l’angle commun CB/i, il reste les deux angleségaux ABC et «Bot; donc l’angle ABC est égal à l’angle b.

Menant de même au point A les droites A p et A o ,la première perpendiculaire sur AC et la seconde surAB , ces droites seront parallèles aux côtés ac et ab dutriangle abc , et l’angle oAp qu’elles forment seia égalà l’angle a. Mais si des deux angles droits oAB, pAc onretranche l’angle commun pAB, il reste les deux anglesfrgaux oAp , BAC; donc l’angle a est égal à l’angleSAC. Donc les trois angles du triangle abc sont respec-tivement égaux aux trois angles du triangle ABC.

29. On doit observer que dans les triangles dont lescôtés sont respectivement parallèles ou perpendiculai-res, les angles égaux sont formés par deux côtés parallè-les ou perpendiculaires chacun à chacun.

30. Corollaire III. Deux triangles isocèles qui ontY angle du sommet égal de part et d’autre sont semblables.

En effet, la somme des angles à la base étant la mêmedans ces deux triangles, ces angles sont égaux chacun àchacun, puisqu’ils sont chacun la moitié de celte som-me ( 5 ). Donc deux tels triangles ont leurs trois angleségaux chacun à chacun.

31. Lemme. Si dans un triangle quelconque on mèneune parallèle a l’un des cotes, elle partagera les deuxautres côtés en parties proportionnelles , et de plus sonrapport avec le côté parallèle sera le même que celuid'une quelconque des parties opposées avec le côte cor-respondant.

Soit le triangle ABC (Fig. ci-dessus, n° 26) ; si onmène la droite de parallèle au côté AC , ou formera letriangle Bde semblable au proposé, car ces deux trian-gles ont leurs trois angles égaux chacun à chacun, sa-voir : l’angle C commun et les augles A et B de, B etde B égaux comme correspoudans. Nous avons donc(26)

AC : de : : BC : Be : : AB : Bd

ce qui est la seconde partie de la proposition.

En ne cousidérant que les deux derniers rapports

AB : Bd : : BC : Bcon a, dividendo (voy. Proportion, 10),

AB - Bd , Bd : : BC — Be : Bc,

c est la première partie de la proposition.

O11 démontre la réciproque de ce lemme par une ré-duction à 1 absurde, savoir : « lorsqu’une droite coupedeux côtés d’un triangle en parties proportionnelles ,elle est parallèle au troisième côté. »

3 u. Théorème. Deux triangles qui ont un angle égalde part et d’autre, compris entre des côtés respective-ment proportionnels, sont semblables.

Soient ABC et abc, figure ci-dessus n° 26, deuxtriangles dans lesquels les angles B et b sont égaux etles côtés AB et BC, qui forment l’angle B, proportion-nels aux côtés ab et bc qui forment l’angle b. Prenantsur AB une partie Bd égale à ab et sur BC une partieBe égale à bc et menant la droite de, le triangle B desera égal au triangle abc (12), puisque par constructionces deux triangles ont un angle égal compris entre deuxcôtés égaux chacun à chacun. Mais on a par hypo-thèse

AB : ab :: BC : bc.

donc on a aussi

AB : Bd : : BC : Be

et, par conséquent ( 3 i), la droite de est parallèle à AC.Ainsi le triangle Bde, ou son égal abc, est semblableà ABC.

33 . Théorème. Deux triangles qui ont leurs troiscôtés proportionnels sont semblables.

Soient ABC , abc (même figure) deux triangles danslesquels on ait

AB : ab : : AC : ac : : BC : bc

prenant sur AB, Bd = ab et sur BC, Be = bc, et menantde, les deux triangles ABC et Bde seront semblables,puisqu’ils ont l’angle C commun et que les côtés Bdet Bequi forment cet angle, dans le triangle Bde, sont, parconstruction , proportionnels aux côtés AB et BC quile forment dans le triangle ABC. On a donc

AC : de :: AB : Bdou, parce que Bd = ab,

AC : de : : AB : abOr, par hypothèse,

AC : ac : : AB : ab

Ainsi, comparant cette proposition à la précédente.de = ac. Les deux triangles abc et Bde ont donc leur»trois côtés égaux diacun à chacun et sont par consé-quent égaux (i 4 ) ; mais le triangle Bde est semblable autriangle ABC , donc aussi le triangle abc est semblableâ ABC.

ou