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34 . Parmi toutes les propositions qui dérivent de cesthéorèmes fondamentaux, nous démontrerons encoreles suivantes dont nous avons fait plusieurs fois usagedans le cours de ce Dictionnaire.

Théorème. Dans un triangle rectangle, si du sommetde l 'angle droit on abaisse une perpendiculaire surl’hypothénuse, celte perpendiculaire partagera le trian-gle en deux autres qui lui seront semblables.

Soit le triangle ABC rectangle en B , abaissons dusommet de l’angle droit la perpendiculaire BD sur l’hy-pothénuse AC, nous formerons deux triangles, égale-ment rectangles, ABD , BDC, qui seront semblables en-tre eux et au proposé ABC,

En effet, les deux triangles ABC et ABD étant tousdeux rectangles, l’un en B et l’autre en D, et ayant l’angleA commun, ont leurs trois angles égaux chacun à cha-cun (4), et sont par conséquent semblables (26).

Les deux triangles ABC et BDC, également tous deuxrectangles, l’un en B et l’autre en D, et ayant l’angle Ccommun, ont leurs trois angles égaux chacun à chacun.Ces triangles sont donc semblables.

Enfin les triangles ABD et BDC étant chacun sem-blables au triangle ABC sont semblables entre eux.

35 . La comparaison des côtés homologues de ces troistriangles conduit à des conséquences très-importantes.On a évidemment

B

1° Pour les triangles ABC , ABD,

AC : AB :: AB : AD.a 0 Pour les triangles ABC, BDC,

AC : BC :: BC : DC.3 ° Pour les triangles ABD , BDC ,

AB = AC X AD

BC = AC X DCSi l’on ajoute ces égalités, il vient

ÂB-f-BC == ACXAD+ACXDC = ACX(AD-fDC)ou

AB BC = A C ,

c’est-à-dire que «le carré de l’hypothénuse est équi-valent à la somme des carrés des deux autres côtés.C’est le célèbre théorème de Pythagore que l’on dé-montre par des constructions géométriques, dans l'équi-valence des figures.

37. Ce n’est pas seulement dans le triangle rectan-gle qu’il existe une relation déterminée entre les carrésdes côtés, il en est de même dans tous les triangles ,seulement cette relation diffère selon la nature destriangles. Considérons , par exemple, le triangle ACBde la figure 20, pl. 57 , obtus en B, et sur la base ABduquel, suffisamment prolongée, on a abaissé la per-pendiculaire CD ; celte perpendiculaire déterminedeux triangles rectangles ACD, BCD, dont les hypothé-nuses sont AC et CB , et, d’après ce qui précède, on a

ÂC* = AD -f- CDCD'= CB — KD

— «

substituant dans la première égalité la valeur de CDdonnée par la seconde , il vient

ACÀD*-j- CB — BDmais AD = AB -f- BD et par suite

AD^AB’-I-BD + 2 AB X BD

substituant de nouveau cette valeur de Àü’dans celle— — %

de AC , ou obtient

AD : BD :: BD : DC.

Les deux premières proportions nous appreuid abord que dans le triangle ABC « chaque côté de 1file droit est moyen proportionnel entre l’hypotliéiet le segment adjacent. » Il résulte de la dernièreu 1® perpendiculaire abaissée sur l’hypothénuse“toyenneproportionnelleentre les deuxsegraens qu’

détermine. »

36 . Les proportions t et 2 donnent

AC*= AB* + BD + 2 AB X BD ,

c’est-à-dire que « le carré d’un côté opposé à un angleobtus est équivalent à la somme des carrés des deux au-tres côtés et du double du rectangle formé entre l’unde ces côtés et le segment déterminé sur son prolonge-ment par la perpendiculaire abaissée de l’extrémité del’autre. »

Si au lieu de considérer le triangle ACB obtus en B,on avait considéré le triaDgle ACB aigu en B , et dans