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RFI = tang A, ainsi ces deux proportions peuvent en-core s'ccrire

i.AC : BC : : B. : sia A

■j.AB : BC : : R : tang A

1. La première de ces proportions donne le prin-cipe fondamental suivant : « Dans tout triangle rec-tangle, l’hvpothénusc est à l’uu des deux autres côtéscomme le rayon est au sinus de l’angle opposé à ce

côté. »

2. De la seconde proportion résulte cet autre prin-cipe fondamental : « Dans tout triangle rectangle undes côtés de l’angle droit est à l’autre côté comme lerayon est à la tangente de l’angle adjacent à ce premiercôté. »

3 . Le rayon qne nous avons exprimé ici par R estcelui des tables des sinus; on peut pour plus de sim-plicité le faire égal à l’unité, et alors les deux propor-tions donnent

BC = AC. sin ABC = AB. tang A

ce que l’on peut énoncer ainsi :

i« L’un quelconque des côtés de l’angle droit estégal à l’hypothénuse multipliée par le sinus de l’angleopposé à ce côté.

a* L’un quelconque des côtés de l’angle droit estégal à la tangente de l’angle aigu qui lui est adjacentmultipliée par l’autre côté.

Comme dans tout triangle rectangle l’un des anglesaigus est le complément de l’autre, on peut remplacerdaus ces relations le sinus de l’angle opposé par le co-sinus de l’angle adjacent et la tangente de l’angle adja-cent par la cotangente de l’angle opposé.

4 - Nous ferons observer ici que dans toutes les for-mules trigouométriques où l’on a fait le rayon égal à1 uuité il devient essentiel de rétablir ce rayon lorsqu’onveut réaliser les calculs numériques en se servant de ta-bles des sinus calculées pour un rayon déterminé. Or,ce rétablissement du rayon des tables est l’objet d’unerègle très simple qui consiste à rendre homogènes tousles termes des formules. Par exemple l’expression

BC = AC.sin A

en vertu de laquelle une ligne est égale au produit dedeux lignes, lequel produit représente une surface ,serait uu véritable non-sens géométrique, s’il 11’était passnus-cntendu qu’elle est identiquement la même choseque l’expression

n’est plus Y unité, comme c’est le cas des tables trigono-métriques où il est 10000000000, on le rétablit dansles formules en rendant tous les termes de même dimen-sion ou homogènes. C’est ainsi que l’expression

sin 1 A = 1 — cos 1 A

devient

sin 1 A = R 1 — cos 1 A

par le rétablissement du rayon ; et que l’expression

C. cos B

a = b sin A •

devient

ô.sinA R.C.cosBR ~b‘

par le même moyen. ( Voy . Dimension.)

5 . Tous les problèmes qu’on peut se proposer sur lecalcul des parties inconnues d’un triangle rectangle parle moyen des parties données se réduisent aux quatrecas suivans :

I er cas. On connaît l’hypothénuse et un autre côté.Désignons par a, b, c, les trois côtés du triangle, et parA, B, C, les angles respectivement opposés à ces côtés;prenons A pour l’angle droit, et conséquemment a pourl’hypothénuse.

b étant le côté donné avec l’hypothénuse a , ou aurapour déterminer l’angle B la proportion

a : b :: R : sin B ,

ce qui donne, en employant les tables de logarithmes eten se rappelant que Log R = 10,

Log.sin B = 10 -f- Log b — Log a

Connaissant l’angle B, on a immédiatement C=90°—B.Quant au troisième côtéc, on peut le calculer directe-ment par la propriété connue (voy. Triangle, 36 )

a 1 = ô 1 + c’, d’où c = \/[a'—b']

et l’on a, en se servant des logarithmes,

L°gc=i { Log(a-fi) -f Log(a-Ô) }

On peut encore trouver ce côté, après que B est déter-miné, par la proportion

b : c : : R : cot B

d’où

Loge = Logô -f-Log.cot B — 10.

II® cas. On connaît les deux côtés de l’angle droit.On aura l’angle B par la proportion

BC . R = AC.sinA

dans laquelle R représente Yunité. Or, lorsque cerayon d’où

c : b : : R : tang B