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Log.taügB= io + Logô —Log c

L’angle C sera donné par la relation C = go° — B.Quant à l’hypothénuse, comme la propriété directea — \/[Zi 2 +c’] ne se prête pas facilement au calcul lo-garithmique, il sera plus simple de l’obtenir par la pro-portion

a : h : : R : sin B

qui donne, lorsque l’angle B est connu ,

a = io -f- Log b — Log.sin B.

III e cas. On connaît l’hypothénuse et un angle aigu.

Ici les trois angles sont donnés et les côtés b et c secalculeront par les formules

Logé == Loga -f- Log. sin B — ioLog c = Log a -f- Log.sin C — 10

IV e cas. On connaît l’un des côtés de l’angle droit,b par exemple, et un angle aigu.

Les trois angles sont encore donnés, et l’on aural’hypotliéuuse et l’autre côté parles proportions

sin B : R : : b : aR : tang C : : b : c

ou par les égalités correspondantes

a = io -f- Iogô — sin Bc = log b + log tang C — io

Nous croyons iuutile de donner des exemples numéri-ques de l’emploi de ces formules.

6. La résolution des triangles obliquangles reposeégalement sur deux principes fondamentaux dontvoici l’énoncé :

i° Dans tout triangle rectiligne les sinus des anglessont entre eux comme les côtés opposés à ces angles.

2° Dans tout triangle rectiligne le carré de l’un quel-conque des côtés est égal à la somme des carrés desdeux autres côtés, moins deux fois le produit de cesdeux côtés et du cosinus de l’angle qu’ils forment.(On suppose le rayon égal à l’unité.)

Pour démontrer le premier prin-cipe, considérons un triangle quel-conque ABD, du sommet duquelnous abaisserons sur la base laperpendiculaire AC. Cette per-pendiculaire forme deux trianglesrectangles ACD, ACB, dans lesquelsffon a, d’après ce qui précède (i)

AB : AC : : R t sin BAD : AC : : R : siu D

TR

Or, les moyens de ces deux proportions étant respecti-vement égaux, les extrêmes donnent

AB : AD : : sin D : sin B

En abaissant la perpendiculaire du sommet de l’angleB sur le côté AD, on trouverait de la même manière

AB : BD : : sin D : sin A

On a donc généralement

AB : AD : BD : : sin D : sin B : sin A.

Si, au lieu de tomber dans l’intérieur du triangle , laperpendiculaire tombait en dehors, on aurait visible-ment les mêmes résultats.

Quant au second principe, on a, d’aprèsun théorèmedémontré ailleurs (voy. Triangle, 37),

ÂD = ÂB-f- BD — 2BD X BC

mais le triangle rectangle ABC donne ( 3 ) BC =AB X cos B; donc, eu substituant,

ÂD*=ÂB-J-BD-aBDXABXcosB.

Il est facile de voir que si l’angle B était obtus, cas oùla perpendiculaire tombe hors du triangle , on obtien-drait encore le même résultat.

7. En désignant par a,b,c, les trois côtés d’un trian-gle rectiligne quelconque, et par A, B, C , les anglesqui leur sont respectivement opposés , nous aurons lesdeux principes fondamentaux

(m) .... a : b : c : : sinA : sinB : sinC

(n) . c 1 = a 1 -|- b 1 —■ lab. cosC

desquels nous allons déduire la solution de tous les casparticuliers.

Nous ferons observer en passant que, pour tenir comptedu rayon des tables dans la seconde expression , il fautrendre ses termes homogènes, et qu’elle devient alors

c’ = a 1 -f ô*

aaô.cosC

R

8. On peut encore ramener à quatre tous les cas par-ticuliers de solution des triangles en général.

I er cas. Deux côtés a et b sont donnés avec l'angle Aopposé à l’un d’eux.

Pour trouver d’abord l’angle B opposé à l’autre côtéb , on aura la proportion

a : b :: sin A : sinl),et, par logarithmes,

Log.sinB = Log b -f- Lng.sinA ■*— Loga.