TR

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On doit observer ici que les tables trigonométrieques ne donnent jamais pour l’arc correspondantà un sinus donné qu’un arc moindre qu’un quart delàcirconférence, et que ce sinus peut indifféremment cor-respondre à cet arc ou à son supplément, parce qu’ona généralement sinM = sin (i8o° —M). Il devientdonc essentiel desavoir quelle doit être la nature de l’an-gle B cherché , car s’il est aigu sa valeur est directe-ment donnée par les tables, tandis que s’il est obtus ilfaut prendre le supplément de l’arc des tables. Or, si l’onneconnaissaitpas directement la nature decet angle, onpourrait la déterminer dans certains cas à l’aide desconsidérations suivantes : si l’angle donné A est obtus ,B doit être aigu j si l’angle donné A étant aigu, le côté2 est plus grand que b, l’angle B ne peut être qu’aigu.Ce n’est donc que lorsque A est aigu, et a plus petitque b, que B peut être obtus et qu’il y a indécision.

L’angle B étant connu, on aura l’angle C par la rela-tion C = i8o° — A — B, puis on calculera le troisièmecôté C par la proportion

sinA : sinC : : a : c.

88.1

au moyen de laquelle on pourra calculer la demi-diff; : «rence { (A—B). Connaissant cette demi-différence, onaura le plus grand des angles, en l’ajoutant à la demi-somme et le plus petit en la retranchant.

On simplifie les calculs en observant que

tangt(A 4 -B) = tangi(i8o 0 — C) = taDg(go* — £C)= cot-J C

Ainsi, en désignant la demi-différence £(A—B) par A ,il vient

a — b _

tang A = —- T . cot j Cu a-\-b

Après avoir calculé l’angle A par cette formule, on trouveensuite A et B par les relations

A = 90° — { C -f- AB = go° — 4 C — A

Nous supposons a^>b d’où A > B.

Les angles A et B étant ainsi déterminés, on aura latroisième côté c par la proportion

II* cas. Un côté a est donné avec deux angles.

Le troisième angle se trouve donné médiatement etl’un calcule les deux autres côtés par les proportions

sinA : sinB : : a : b

sinA : sinC : : a : c.

IY* cas. Les trois côtés sont donnés.

En vertu du principe ( n ) l’angle C opposé au côté csera donné par l’expression

sinA : sinC : : a : ceu par les égalités correspondantes

Logô = Loga -f- Log.sinB — Log.sinALoge = Loga -f- Log. sinC — Log. sinA.

III* cas. Deux côtés a et b sont donnés avec l’anglecompris C.

Pour trouver d’abord les deux autres angles, il fautobserver que leur somme est connue puisqu’elle est^galeà i8o° — C , et que le problème se réduit ainsi àchercher leur différence, parce que deux quantités donton connaît la somme et la différence se déterminent purUne règle très-simple. ( Voy . Equation, io.)

Or, eu vertu du principe (m), nous avons

a : b : : sinA : sinBd où, par composition de rapport,

a + ô : a — b : : sinA -J- sinB : sinA— sin B,umis on sait que (yoy. Sinus, 33)

cos C

a 1 -f -b ' 1 —clab

qu’il s’agit de transformer en une autre plus commodepour le calcul. Or, ou a généralement (yoy. Sinus, 25 )2 sin* -t s = i — cosset, par conséquent, ici

a* -f- b 2 — c*

nsin* f C = i —

2 ab

lab —a 1 —

•lab

_ (c-f-a— b)(c-\-b — a)

lab

d’où

Si nous désignons par s la demi-somme des trois côtés-b-j-c, nous aurons

c-^-a — b — is — ib, c-\-b—a = is —2a

siuA -f- sinB_tang-i(A-f-B)

sinA —sinB tang-£(A—B/

Houe, en substituant, on a la proportion

® + ^ : a—b : s tang ? (A-j-B) : tang ; (A—B>

et la dernière expression prendra la forme

“ Bic =i/m

£”,^ 1*30 peut aisément calculer par logarithmes.