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On aura évidemment de même pour les deux autresangles A et B les expressions semblables

\/m

sin j B

TR

moitié du produit de deux quelconques de ses côtés etdu sinus de l'aDgle qu’ils forment,tn reprenant les notations précédentes nous aurons

S = -3 ab. sin C

Si dans cette expression nous substituons celle de sin Ctrouvée dans le numéro précédent, il viendra

On peut trouver d’autres formules analogues pour ré-soudre la question. Par exemple, en partant de l’expres-sion connue (voy. Sinus, 25 )

on a

2 cos 1 z = i -f- cos z

2 cos’ i C = i +

b 1 —c 12 ab

S = \/[s(s—a) (s—b) (s—c)]

formule qui donne l’aire du triangle par le moyen destrois côtés et que nous avons démontrée ailleurs d’unemanière directe (voy. Application, 20).

Dans le cas où l’on connaîtrait seulement un côlé cet les deux angles adjacens A et B, l’aire serait donnéepar la formule

iab-\-a‘‘-\-b x —c 1lab

, c.sin A. sin Bsin (A-|-B)

_ (a-j-i)*—c‘

lab

(a+b+c)(a+b-c)

lab

d’où enfin

-i.= - Y/P^

qu’on obtient en cherchant l’expression de la hauteurdu triangle en fonction de la base et des angles adja-cens.

io. Pour donner quelques exemples de l’applicationde ces formules, proposons de déterminer les anglesd’un triangle dont les trois côtés ont pour longucuisdonnées i200"*, 86o m et , ]8o m . Posant a = 1200”,b = 860", c = 780"*, nous trouverons successivement

Cette dernière expression doit être préférée à la précé-dente lorsque l’ai.glc C est très-obtus.

Eu multipliant l’expression de cos J C par celle desin l C , et en observant que 2sinÿC.cos î C = sin C(voy. Sinus , 24), on obtient encore :

sin C = ht W s — C ) )

formule moins simple que les deux autres, mais nocmoins remarquable.

9. Il nous reste à donner la détermination de l’atVe dutriangle par le moyen de quelques-unes de ces parties.Pour cet effet, rappelons-nous que l’aire d’un trianglequelconque est égale à la moitié du produit de sa basepar sa hauteur. Ainsi, en désignant cette aire par S etprenant pour exemple le triangle de la figure précé-dente, nous aurons

S = » BD X A.C ,

mais le triangle rectangle ABC donne AC=AB.sinB ;dune, eu substituant,

S = -J BD X A.B X sin B

c est-a-dire que « l’aire d’un triangle est égale à la

r=J(a+i-j-c)=i420,^—<1=220, s—b~S6o,s —c= 64 °Observons maintenant que pour rendre la formule

. . , r (* —«) (s—b) 1

calculable par logarithmes il faut rendre ses membreshomogènes en y introduisant le rayon R des tables; Ofcette formule est la même chose que

«.• iC

ab

dont le premier membre a deux dimensions, tandis q uBla dimension du second est nulle; il faut doue la met'tre sous la forme

• « 1 -d. ( s —o) (•f— b)

sin 8 c = R’. --^-

ab

et l’on a, eu employant les logarithmes, à cause <1°log R’= 2 log R = 20,

log.sin *C=i [20+log(r-a)+log (s-b)-loga-log b lVoici le calcul