590

TR

( a.

22 . ...

cosC.cotô

b, c

( c .

23. .. .

=

tangC.sinô

( B.

H-■ ■ •

siuC.cosô

[ a.

■j5. ...

=

cosô. COSC

b, c <

B.

26 ....

=

sinc.cutÆ

[ C.

a 7 ....

=

cotc.sioè

f a.

28 ....

—

cotB. cotC

B, C {

I b.

29 ....

=

cosB

sinC

C.

3o.

=

cosC

siuB

Pour calculer ces formules par les logarithmes, ilfaut les rendre homogènes eu y introduisant le rayon,ce qui se fait eu divisant par R les seconds membresqui sont des produits , et en multipliant par R ceuxqui sont des quo tiens.

Les arcs marqués d’un astérisque sont de même na-ture. Par exemple la formule sin b* = sin a. sin B*indique que l’arc b cherché est plus grand ou plus petitqu’un angle droit, selon que B est lui-méme plus grandou plus petit quego 0 .Dans les trente cas possibles il n’y ena donc*réellement que six de douteux. Cette indicationest fondée sur ce que dans tout triangle sphérique rec-tangle un angle oblique et le côté qui lui est opposé,sont toujours delà même espèce, c’est-à-dire, tous deuxplus grands ou tous deux plus petits que go°.

En examinant le tableau précédent on voit que lestrente cas qu’il présente se réduisent aux cinq cas géné-raux suivans dont les données sont :

1. L’hypothénuse et un angle oblique.

2 . L’hypothénuse et un côté oblique.

3. Les deux côtés obliques.

4- Un côté oblique et un angle oblique.

5. Les deux angles obliques.

On peut même encore embrasser ces cinq cas géné-raux par une analogie ou proportion très-élégante dueà Néper, et nous devons nous étonner que les auteursmodernes des traités de trigonométrie ne fassent pasmention d’un principe qui a l’avantage de ramenertoute la solution des triangles sphériques rectangles àun seul cas général que sou élégante symétrie permetde graver facilement dans la mémoire. Voici ce prin-cipe.

Dans un triangle chaque partie est nécessairementcomprise entre deux autres qui lui sont ou immédiate-ment conjointes ou qui en sont séparées par celles-ci.Le côté a par exemple est compris entre les deux an-gles conjoints B et C ou bien entre les côtés b et c, sé-parés par ces angles conjoints. Chaque côté a donc ainsideux angles pour parties conjointes et deux côtés pourparties séparées , tandis que chaque angle a deux côtés

TR

pour parties conjointes et deux angles pour partiesséparées. Mais quand il s’agit d’uu triangle rectangle ilne faut pas tenir compte de l’angle droit, et eu appli-quant cette subdivision des parties conjointes et desparties séparées , on doit considérer les cinq parties deces triangles, autres que l’angle droit, liées immédiatement entre elles comme si l’angle droit n’existait pas.De cette manière chaque côté de l’angle droit a pourparties conjointes l’angle oblique adjacentetl’autrecôté,et pour parties séparées , l’hypothénuse et l’angleoblique opposé. En général a, b, c, étant toujours lestrois côtés, et B, C les angles obliques, les parties con-jointes et les parties séparées de chacune de ces cinqparties sont :

Pour ab

B

C

conjointes.

séparées .

B, C....

. b, c

C, c....

. a , B

b, B....

a, C

a, c ....

C, b

a, b. ...

• B, c

Voici maintenant la loi entièrement générale quilie toute partie comprise à ses conjointes et à ses séparées.

Le cosinus d’une partie comprise est toujours égal auproduit soit des cotangentes des parties conjointes ,soit des sinus des parties séparées.

Quand les côtés de l’angle droit interviennent dansla formule il faut au lieu de ces côtés employer leurscomplêmens, et dès lors à leurs sinus, cosinus et cotan-gentes substituer leurs cosinus , sinus et tangentes.Ainsi pour le côté <*, par exemple, les parties con-jointes donnent

cosæ = cotB. cotCet les parties séparées

cos<z= cosô.cosc.

En appliquant de même ce principe à toutes les par-ties, on obtiendra dix équations qui fourniront lestrente formules de la table, en prenant successivement,dans chacune, pour inconnue, une des trois quantitésqu’elle renferme.

a5. Tous les cas de la solution des triangles sphéri-ques en général peuvent être ramenés à quatre cas gé-néraux essentiellement différens qui sont :

i° Les trois côtés sont donnés.

2 ° Deux côtés sont donnés avec un angle.

3° Deux angles sont donnés avec un côté.

4° Les trois angles sont donnés.

Nous allons les examiner successivement.

26 . Les trois côtés a, b , c d’un triangle spheriq 1 * 0