TH

quelconque étant donnés, on déterminerait un des an-gles, A par exemple, à l’aide de l’expression fonda-mentale (7)

. cosa—cosZ>. cosc

Mais comme cette formule est peu commode pour lecalcul logarithmique, on doit lui faire subir une trans-formation. Substituons cette valeur de cos A dans l’ex-pression

2 sim -j A = 1 — cos A

nous aurons

TH 591

»

ce quipeutêtre calculé directement par les logarithmes.

Pour déterminer l’angle C, il faut obtenir une rela-tion entre les côtés a et b et l’angle compris C, à l’aidedes expressions fondamentales (7).

Or, la première et la dernière de ces expressionsétant mises sous la forme

cosA.sinô .sine = cosa — cosô.cosccosC.sin£.sina = cosc —cosô.cosa,

si on élimine cosc entre ces deux équations, il vientcos A. sine + cosC. sina = cosa. cos b ;

2 sin 1 à A =

cosa — cos b. coscsinô.siuc

sinô. sine—cosa-f-cosô. coscsiné.sinc

Mais sinô.sinc-f- cosô.cosc = cos(Z>—c) (Sinus, 16), etl’on a en général (Sinus, 17)

COS7 — cos p = 2 sin { (p-\- 7). sin \{p — 7)

Ainsi ,

cos(ô — c) — cosa = 2 sin \ ( a+b—c ). sin ‘ (a — ô + c)

et, par conséquent,sin | A. = \ /

V ( sine, sine )

En rendant cette formule homogène et prenant les lo-garithmes, il vient

puis mettant dans cette dernière la valeur de

sine =

sina.sincsin A

tirée de la proportion fondamentale

sina : sine : : sinA : sinC,

on obtient (r)

cot A.sinC -f- cosC.cosô = cota.sin b

ce qui est la relation demandée. Pour pouvoir tirer decette expression la valeur de l’angle C, il faut avoir re-cours à un artifice de calcul en déterminant un angleauxiliaire y tel qu’on ait

tang çp = cosi.tangA ,car cet angle y étant connu, on a

tang A =

tang y smy

COSÔ COSÔ. CQSf

Log.sin^ A = 10 +1 { Log. sin i (a + b — c)

+ Log l (a — b + c) — Logi — Loge}

Comme on peut désigner successivement chacun des tangles par A, en faisant le côté opposé = et et les deuxautres = b , =.- c , on pourra évidemment calculer dela même manière les trois angles du triangle.

27. Deux côtés a et b étant donnés avec un angle ,la détermination des deux autres angles et du troisièmecôté dépend de la position de l’angle connu qui peutêtre soit opposé à l’un des côtés connus, soit comprisentre ces deux côtés. Ce cas général se subdivise doncen deux cas particuliers.

ou

cot A —

cosô.cos ysin y

Substituant cette valeur de cot A dans (r) , cette équa-tion devient

cosôsin y

cosy.sinC -(-sin y.cosC

= cota.sinô

mais (Sinus, 16) , coîysinC-j-siny.cosC = sin(C-(- y) ,donc définitivement

sin (C+y) =

tangô. sinytanga

I. Soient donnés les côtés a et b avec l’angie r op-posé à l’un d'eux. La détermination de l’angle B opposéau côté b est tirée de la proportion (20)

d’où

sin a : sinô : : sinA : sinB,

sinB ==

sinô.sinA

sina

expression qui fait connaître la valeur de C + y etpar conséquent celle de C.

Ainsi, pour nous résumer, les données étant a, b et A ,on commencera par calculer y à l’aide de la relation

Log tang y = Log cos b -j- Log tang A — 10,

puis on trouvera la somme C-(-y par celle-ci