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ain I; a

— cosHA + B 4-C).cos ;(B-f-C— A)

sin B.sinC

]

qu’on peut également appliquer aux deux côtés b et cà l’aide de la remarque que nous avons faite (26) surla formule qui donne uu angle par les trois côtés.

Quant à la déduction de cette formule, on la tire desexpressions fondamentales ( q) par des transformationsanalogues à celles que nous avons déjà employées dansce qui précède , transformations que facilite extrême-ment la considération des propriétés du triangle po-laire, dont les auteurs des traités de trigonométrie fontun grand usage. Voici quel est ce triangle polaire:ABC étant un triangle sphérique quelconque, imagi-nons un second triangle A'B'C', dont les sommetsA', B', C' soient les pôles des grands cercles dont lescôtés a , b , c du triangle ABC font partie; alors lessommets A, B, C de celui-ci seront respectivement lespôles des côtés a', b', c' du triangle A'B'C', et il est fa-cile devoir 1° que les angles A', B', C' du triangle po-laire A'B'C' sont les supplémcns des côtés a, b, c dutriangle ABC; 2° réciproquement que les angles A, B, Cdu triangle ABC sont les supplémens des côtés a', b', c'du triangle polaire A'B'C'. On a donc ainsi

A'= 180 0 —a,B'= 180 0 — b, C'=i8o°—C, a'=i8o°—A,i>'=i8o°—B, c'=i8o° — C.

Ces relations donnent les moyens de transformer très-facilement les expressions fondamentales (<7), commenous allons en donner un exemple.

L’expression (q) appliquée au triangle A'B'C' devient

cosa'—cosô'.cosc'

co s A =--—n—=—,-,

sin b .sine

ainsi, mettant à la place de A', a', b', c' leurs valeutisci-dessus, il vient

COs(i8o°— a)=

_cos{ 18o°—A) —cos( 18o°—B). cos( 18o°— C)

sin(i 8o°—Bj. sin( 180"—C)

Or,en général, cos(i8o°— x) =—cosx, sin(i8o°— x)= siu;r ; donc cette dernière expression est la mêmechose que ( t )

cos A -j-cos B. cos C

COS Cl —— n p

sinB.sinL

on obtiendrait de la même manière„

cosô =

cos B -j- cos A. cos Csin A.sinC

cos c

cos C -}- cos A. cos B

sin A .sin B

formules qui donnent les côtés en fondions des angles

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comme les formules (7) donnent les angles en fonction,des côtés. On peut à la vérité déduire directement cesdernières formules des expressions (q) , mais d’une manière beaucoup moins simple. ,

Maintenant il est évident qu’en opérant sur l’expres-sion (/) comme nous l’avons fait au n° 26 sur l’expres-sion ( q ), nous obtiendrons la formule (s).

3 0. Les formules de Néper, dont nous avons faitusage aux n°’ 27 et 28, se déduisent aisément des ex-pressions [q) ; on les préfère à l’emploi des angles auxi-liaires dans tous les cas où elles peuvent être em-ployées, et elles sont en effet plus directes et plus élé-gantes. L’emploi de l’angle auxiliaire rend inutile laconsidération de la perpendiculaire à l’aide de laquelleon ramène la solution d’un triangle obliquangle à celled’un triangle rectangle, et l’ensemble de cette solutionse trouve assez complètement donné dans ce qui pré-cède pour nous dispenser de le résumer dans un ta-bleau. Il existe encore un grand nombre de formulesparticulières dont l’application peut faediter la solu-tion de certains cas, surtout lorsque quelques partiesdu triangle proposé sont très-petites par rapport auxautres, mais nous devons renvoyer à la Trigonométriede Cagnoli ; c’est le traité le plus complet qui existesur cette branche importante de la géométrie.

Comme pour les triangles rectangles, toutes les foisque la quantité cherchée est donnée par son sinus il ya indécision dans le choix qu’on peut faire des deuxarcs qui lui répondent, cependant on diminue beau-coup le nombre de ces cas douteux par les trois règlessuivantes :

t° Si la somme de deux côtés est moindre que 180°,l’angle opposé au plus petit est aigu;

2 0 Si la somme de deux côtés est plus grande que180 0 , l’angle opposé au plus grand est obtus ;

3 ° Quand la somme de deux côtés est égale à 180°,la somme des angles opposés est de même égale à 180 0 .

Il faut en outre faire scrupuleusement attention auxsignes des lignes trigonométriques , qui sont positivesou négatives selon la grandeur des arcs auxquelles ellesse rapportent; par exemple, si le résultat d’un calculdonne cosA = — m , et qu’à la valeur m, abstractionfaite du signe , réponde dans les tables des sinus uuarc a, comme, généralement, cos (90°-}-z) =—cosz,l’arc A n’est point alors = a, mais bien =.■ go°-f- a. Ilfaut consulter l’article sinus pour tout ce qui concerneles signes. Quant à la réalisation des calculs numériques,elle s’effectue de la même manière que pour les for-mules de la trigonométrie rectiligne; ainsi nous pouvonsnous contenter d’en présenter un seul exemple.

3 1. Connaissant les latitudes et longitudes de deuxvilles, on demande la grandeur de l’arc du grand cercle

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TOME II.