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moyen connu , et, si c’est un extrême, en divisant leproduit des moyens par l’extrême connu (voj. Propo-sition).

Pour établir une proportion entre quatre quantités,on doit observer i° de composer chaque rapport dequautités de la même espèce; 2° de n’égaler entre euxque deux rapports directement égaux, c’est-à-dire, dontl’un ne soit pas l’inverse de l’autre. Avec cette atten-tion il n’est pas nécessaire de s’occuper de la placequ’occupe le terme cherché dans la proposition, ettoutes les considérations de règle de trois directe et derègle de trois inverse, dont les auteurs de traités d’arith-métique compliquent la question , deviennent complè-tement inutiles.

Les deux questions suivantes vont indiquer la mar-che qu’on doit suivre dans tous les cas.

i. 3o aunes d’étoffe ont cûûté 55 fr. 5o c., on de-mande combien coûteront 55 aunes de la même étoffe?

Plus il y a d’étoffe, plus le prix doit être considérable;ainsi les nombres d’aunes doivent être en rapport di-rect des prix qu’ils coûtent. Désignant donc par x leprix cherché, on dit : le rapport de 3o aunes à 55 au-nes est le même que celui de 55 fr. 5o c., prix de 3oaunes kx, prix de 55 aunes; ainsi, posant la propor-tion

3o : 55 : : 55, 5o : x,il s’agit de calculer un extrême. On a donc

55 X 55, 5o*=— 3 ^-’

réalisant d’abord la multiplication, puis divisant leproduit par 3o, on trouve x = ioi fr. 75 c. 55 aunescoûteront donc 101 francs 55 centimes.

a. Un certain ouvrage a été terminé en 5 jours par8 ouvriers, ou demande combien de temps mettront11 ouvriers, travaillant de la même manière, pourterminer le même ouvrage ?

Ici, plus il y a d’ouvriers, moins de temps il faudra;ainsi le rapport du nombre des ouvriers, c’est-à direcelui des nombres 8:11 est l’inverse de celui desjours de travail ou de celui des nombres 5 : x\ il fautdonc renverser ce dernier rapport et écrire la propor-tion

8 : 11 : : x : 5 ;

s’agit alors de calculer un moyen, et l’on a11

Multipliant 5 par 8 et divisant le produit par 11,on trouve x — 3 — c’est-à-dire qu’il faudra 3 jours

1 ■ *

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59$

et environ 7 heures aux onze ouvriers pour exécutcfl’ouvrage que 8 ont terminé en 5 jours.

On reconnaît que les choses comparées sont en rap-port direct lorsque l’accroissement des unes déterminel’accroissement des autres; dans le cas contraire, c’est-à-dire lorsque l’accroissement des unes entraîne le dé-croissement des autres, le rapport est inverse, et il fautle renverser, comme nous venons de le faire, pour po-ser la proportion.

Lorsque la solution d’une question exige le concoursde plusieurs proportions, la règle prend le nom derègle de trois composée ; cependant, en composant lesrapports, on peut toujours la ramener à une règle detrois simple. C’est ce que l’exemple suivant fera com-prendre.

no ouvriers travaillant 8 heures par jour ont creuséen 12 jours un fossé de 200 mètres cubes, on demandecombien de jours ils mettraient pour creuser un fosséde 35o mètres cubes, en travaillant 10 heures par jour?

En analysant cette question, on reconnaît, avanttout,que puisque le nombre des ouvriers ne varie pas, il nedoit pas entrer dans les rapports, et qu’on peut consi-dérer le travail comme opéré par un seul homme.Ainsi, en ne considérant pas d’abord la différence desheures de travail, et en désignant par x le nombre desjours qu’il faudrait pour creuser 35o mètres cubes , onvoit que ce nombre doit être plus grand que 20, carplus il y a d’ouvrage, plus il faut de temps, toutes cho-ses égales d’ailleurs : le rapport entre les travaux estdonc directement égal à celui des temps pendant les-quels on peut les exécuter, et l’on a la proportion

d’où l’on tire

200 : 35o :: 12 : x,

» =

12 X 35o200

21.

Donc, si ces ouvriers travaillaient le même nombred’heures chaque, jour, il leur faudrait 21 jours pourcreuser le fossé de 35o mètres cubes; mais ce n’est plus8 heures qu’ils travaillent par jour, comme dans lepremier ouvrage , c’est 10 heures; il est donc évidentque, puisqu’ils travaillent plus long-temps chaque jour,il leur faudra moins dejours. Ainsi, désignant par .y lenombre des jours dans cette dernière condition, cenombre doit être à 21 dans le rapport inverse des nom-bres d’heures 8 : 10; c’est-à-dire qu’on a la seconde

proportion

8 : 10 :î y : 21 ,

d’où l’on tire

y —

8 X ai10

16

8^

10’

ainsi le nombre des jours cherché est 16

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