§. 113 . D a sich nun diese Gesetze fortwährend wie-derholen und für m-}-i solcher Functionsreihen als gütigerweisen, wenn man sie für m Functionen als richtig an-nimmt; so kann jetzt ohne Schwierigkeit aus demProductejeder beliebigen Anzahl von dergleichen Functionsreihenjedes beliebige Glied gebildet werden.

Um dieses durch ein Beispiel nachzuweisen, wollen wirsetzen, es sey aus dem Producte der 4 Functionen:

1 — %x -j- 3 a : 1 — 4- r3 + • • 1 1 -j- x — x n - — x* -f- x* -f- • •,

2 -}- ix x- -f- 2a: 3 -[- 2X* + * * > 5 — x — 3 a: 2 — 2a: 3 — 4 x4 — • >

das 3 . Glied zu bestimmen. Bildet man sonach die 4 - Varia-tionscl. zur Summe 3 + 4 — 1=6, so erhält man : 3 i 11 , 22» 1,i 3 n, 2121, 1221, n 3 i, 2112, 1212, 1122, in 3 , also im Gan-zen 10 Complexionen, welche Zahl auch in der That mit dem3 . Glied der hieher gehörigen Verificat. Beihe 1, 4 , 10, . . .übereinstimmt. Läfst man ferner in diesen Complexionen dieersten Zahlen links für die Zeiger der Coeffic. der 1. Function,die folgenden für jene der Coeffic. in der 2. Function u. s. w.gelten, oder schreibt man, wasjfür die Rechnung bequemer undkürzer ist, diesen Coefficienten, übereinstimmend mit der Dar-stellung in §§. 110 und 111 , auf folgende Art:

[( 3 i + 22 + i 3 ) 1 + (21 + 12) 2 + (11) 3 ] 1

+ [(21 + 12)1 + (1») aj a + [(n) 1] 3 ;

so erhält man nach gehöriger Substitution und Reduction ganzeinfach für das verlangte 3 . Glied: — 13 a: 1 .

An merk. Sind die Functionsreihen von der FormA i xn -J- A z xn+m + . . ,

so darf man nur x m — y setzen, um diese wieder auf die

n

hier vorausgesetzte Form: y m (A l + A 2 y + A 3 jA + . .)

zu bringen.

Polynomischer Lehrsatz.

§. 114 . Setzt man in der Entwicklung von $. 110a l =.A 1 , a 2 — A 2 , . . a„ = A n ; so erhält man nach einereinfachen Reduction für die 2. Potenz eines Polynoms:

{A t -j- A z x -|- A 3 X* -j-. .) l = A\ 2 ^ 4 , A 2 x

+- (: zA 1 A 3 -\-Al')x z -(- (sAi A^ -j- zA z A 3 ) x z ,

wobei also wieder dieselben Gesetze wie im angeführten §.,