Denn setzt man in dem obigen Polynom X (vor. §.)x = —, so hat man für - A m 4- 1 sofort:

y y

- A, --j- A 2 -• —. - - —]— An— i j- A n ,

yn yn-i yn-t y

d. i. für y ZP —r —;—■ sofort: i > A,y -J- A„y* -J- A n j' n ,

■A±m -p 1

oder, wenn man mit y m multiplicirt, bei diesen angegebe-nen Werthen von y, auch:

y m > A,y m +' -j- A~y mJ r* -f- , . . -[- A„y m + n ,

wobei auch offenbar n = oo sevn kann.

§. 148. L ehrsatz. Erhält man aus dem PolynomeX der Gleich. X = o, für die 2 auf einander folgendenSubstitutionen at — a und x — b, Besultate mit verschie-denen Zeichen; so liegt zwischen a und b wenigstenseine (je nach Beschaffenheit von a und b reelle oder ima-ginäre) Wurzel dieser Gleichung.

Denn da X = f(x) (§. i 45) eine continuirliche Funct.von x ist, so mufs J(x) bei dem Übergänge von f(a) inf (b) , d. i. vom Positiven ins Negative, oder umgekehrt,nothwendig (da hierjf(x) nicht Unendlich werden kann)durch Null gehen , so , dafs es also einen zwischen a und bliegenden Werth <x geben mufs, wofür ^(n) = o wird;dann ist aber (§. 1 44) x — a eine Wurzel der Gleichungfix) = X = o.

\

149- Zusatz i. Da bei dieser Voraussetzung(dafs/(u) und/(6) verschiedene Zeichen besitzen) f{x)bei dem Übergange von f(a) in f(b) , oder umgekehrt, imAllgemeinen 3, 5,.i. sm-J-i Mal durch Null gehen kann,so kann auch überhaupt zwischen a und b eine unge-rade Anzahl von Wurzeln der Gleich. X = o liegen.

§• 450 . Zusatz 2 . Man sieht ferner leicht, dafs,wenn f(a) und f{b) einerlei Zeichen besitzen, zwi-schen a und b sofort o, 2 , 4,. ..2 m, d. i. überhaupt eine