_ T tm = vw -f- 21, v*“-' 21 3m _,o — A tm

+ (331 v™-' + 33 2 ^ im -* + . . . + 23, m -.-u) Y— Lwobei die Coefficienten 21,, 21-,... 33,, SÖ,... durchausreell sind. Da es endlich immer reelle Werthe für vgibt, wofür der reelle Theil im zweiten Theile dieser Glei-chung verschwindet, indem diese nur aus der Gleichungii ,m + 21, V tm -' lUm-tV — A %m = o, welche (vo-

rigen §.) wenigstens 2 reelle W. besitzt, bestimmt werden,dürfen; so erhält für diese Werthe T zm die Form Q Y — >»wo Q eine reelle Gröfse bezeichnet. Dafür wird aber[Relat. 7z)] das letzte Glied = Tl m — (Q V — *)* = — Q~der Gleich. I. wesentlich negativ, folglich besitzt diesefür die nämlichen erwähnten Werthe von v wenigstens creelle W. w, wovon (vorigen $.) die eine positiv ist.

Da es also scliliefslich [Relat. />)] für cn = z z immerwenigstens einen reellen, positiven Werth gibt; so istauch dafür z = Y eine reelle Gröfse, und we-gen y=±z und x=y + y =y-{-v (a-\-ßY~ ») [Re-lationen m ), k) , 17 )] der Form nach: x = p -J- q Y~ *,wobei auch p und q reelle Gröfsen sind; d. h. nämlich,die obige Gleich, a) besitzt wenigstens eine in der Formp -\- q Y — 1 enthaltene Wurzel *).

§• 154. Zusatz. Fafst man das in den 3 letzten $.Gesagte zusammen, so folgt, dafs jeder hohem Gleichungohne Ausnahme wenigstens eine Wurzel, diese mag nunreell oder imaginär seyn , entsprechen mufs.

§■ 155. Lehrsatz Ist x = tu eine Wurzel derGleichung X = o, so ist das Polynom X durch x — 10theilbar.

Denn ist 10 eine W. der Gleich. X— o, so findet(§. i/| 4 ) die Gleichung Statt: to" -j-yf, 1 -|- A z ta n ~ a -j-...+ ^_, o) A n — o; bestimmt man also aus dieser Gleich.

*) Diesen neuern Beweis hat der Verfasser zuerst in den Jahr-büchern des k. k. polyt. Institutes, Bd. XIX., bekannt gemacht.