A und setzt dessen Werth in das Polynom X, so erhältdie Gleichung X = o die Form:

(*•" — w») + A x (a:'— — -f ... + A-, (er* — co’-)

4“ A—i O — «) = o,

unter welcher die Richtigkeit unseres Satzes unmittelbarerkannt wird *).

I

§• 156 . Zusatz. Theilt man wirklich, so erhältman, Alles wieder nach x geordnet-:

x n ~ 1 4“ A a '"~' 4- B 1 x n ~ 3 —J— . . . —(— B„— X x -J- B,i —. = o,dabei ist, wie man leicht findet: B x = A + co, A = A4 “ y/, CO —CO~ , B$ = CO —|— .zf, CO~ —CO^ , . . .

Bn—t ~ A—i + A n —!<o -|~ • • • “f* £ ' J " — *• Es ist also, umes wiederholt zu bemerken:

X = (x — co) (a. n — 1 -j- B x X ,, - J B,x n ~ 3 + A— .) = o.

§. 157 . Lehrsatz. Jede Gleichung des n. Gradeshat n Wurzeln, und zwar weder mehr noch weniger.

Denn ist co, jene Wurzel, die der Gleichung X s= oi 54 ) nothwendig zukommt, so hat man (vorig. §.)

X — (*—«,)(«•“-■ + B l x n ~* + . . . + A-.) = o.Diese Gleich, wird aber nicht blofs für x — 60, =3 o,woraus eben die genannte W. tr = co, folgt, sondern auchfür X'~ x n ~ l -j~ B x x n —' 1 -j-... -f- A—1 = o befriediget. Istdaher wieder co 2 die W., welche dieser letztem Gleich,nothwendiger Weise zukömmt; so hat man eben so:

X' — ( X C0 2 ) (x n — 1 4- C x x n ~ 3 -p . . . + Cn-i) — o,

eine Gleich., welcher auf doppelte Weise, ein Mal fürx — co 2 = o (woraus eben x=w, folgt) und dann auch für

*) Scharfsinniger noch ist folgender Beweis: theilt man X durchx — c 0 und die Division geht nicht auf, so wird der (Quo-tient X' eine ähnliche Funct. von x wie X seyn , dagegender Rest R, nach der IVatur der Division, kein x mehrenthalten, und man hat X = (x ■— o>)X'-±- R. Setzt mannun x — a, so wird, da u eine W. ist, X — o, und manerhält daher o = oi?, d. i R — o, und zwar, da R von,r unabhängig ist, nicht blofs für x ~ «, sondern überhauptfür jeden Werth von x.