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X"= x n ~* C,ä"- 3 -|- ... + == o Genüge geleistet

■wird. Bezeichnet man defshalb die W., welche diese letz-tere Gleich, haben mufs, durch <o 3 ; so ist eben soX"— (x — cj 3 )(a .' ,i—3 -j- D 1 x n ~^ D n — 3) = o.

Werden diese Schlüsse fortgesetzt, so erhält man, dazuletzt statt dem Polynom nur noch ein Binom als Quotiententsteht: XI"- 1 )'= (x — co,,—,) (a: -f- Q) = o , so , dafs aus®-f-Q = o sofort die letzte W. x = — <? = co„ hervorgeht.Man hat daher endlich durch die stufenweise Substitution:X = (x— Wj) X'= (er — co,) (er—’Co 2 )X

= (x — co,) (er — ojj) (x — co s ) X"'

u. s. w., und zuletzt:

y) X = (er — w,) (er — co 2 )(er'—co 3 ) . . . (er — io„) = o,aus welcher Darstellung nun auch unmittelbar folgt, dafserstlich jede der n Gröfsen co,, «„ ,... co„ , statt er gesetzt,die Gleich. X = 0 befriediget, also eine W. derselben ist,und ferner, dafs es aufser diesen keine andere W. mehrgeben könne.

§. 158 . Zusatz. Sind also co,, co a , co 3 ,... co„ dien Wurzeln der Gleich. X s=s o; so läfst sich das Polynomderselben durch X — (x— co,) (.t — co 2 ) (x — co 3 )...(a: — co„)darstellen*), also in n einfache Factoren von der Formoder, wenn man will (für den Fall, dafs p ein Bruchwäre), a -f- bx zerlegen. Ist n gerade, und nimmt man

immer 2 einfache’Factoren zusammen, so entstehen - qua-

2

dratische Factoren von der Form a -j- bx -f- ex 2 ; für

n — 1

n ungerade hingegen erhält man —-— quadratische undeinen einfachen Factor.

So hat z. B. die Gleich. .r* x'’ — yx 2 —r-j-6 = o die VT.

—i, —J— 2 , —- 3 ; also ist:

.ri -f- .r 3 — yx 2 — x 4- 6 = (x — 1) (x 4- >) (x — 2) (x -|- 3 )

“ (x 2 — 1) (x z 4 -.r— 6) = ( x -— 3 a: + 2) (x 2 4-4-r 4- 3 ) u. s. w.

*) Nach dieser Darstellung ist e-s ebenfalls leicht die Sätze in148 — i 5 o zu erweisen.