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Um das I’olynom 12 a: 3 -|-i6.r 2 — 3 .r —-4 in Factoren zu zer-legen, bildet man die (sogleich geordnete) Gleichung

x * -(- | x n - — 7 a — } ~ o,

und da die W. dieser Gleich, sind: x = ±, —7, — £; so folgt■ r3 + 7 xl — 'X x — 3 = ( x — 7) („r 7) (x -(- 7) , oder, wenn man

die Brüche wegschafft:

12a 3 -j- i 6 .r" — 3 x — 4 — (a-*—1) (a.r + 1) ( 3 a: 4 ).

§. 159 . Lehrsatz. Ist p -j- q \f —1 eine Wur-zel der Gleich. X=o, so mufs auch der conjugirte Werth .p — qV — 1 eine W. dieser Gleich, seyn,

Denn setzt man in X = x n -|- A x x n — 1 -)-... -f- A n ,x = p 4 - <iV— 1; so erhält man , nachdem sowohl die re-ellen, als auch imaginären Theile für sich zusammen genom-men worden, einen Ausdruck von der Form PQ —1,wo P nur gerade und Q nur ungerade Potenzen von qenthält. Setzt man ferner im Polynome X, x=p — q ^ —1;so ändert sich durchaus nichts, als, da man nur ■—q statt-\-q zu setzen hat, das Zeichen von Q, und man erhält alsResultat dieser Suhstit.: P—Q ^ —1. Ist nun p-\~q ^~—1eine Wurzel der Gleichung X~ o, so hat man (§.144)P 4 " Q \/— 1—0, di. (indem diese Relat. nicht andersbestehen kann) P = o und Q \Z ~—1 =0, woraus durchSubtraction auch P — Q — 1=0 folgt: es bringt alsoauch die 2. Substitution, nämlich x = p — q y/ — 1, dasPolynom X auf Null, folglich ist auch dieser Werth von xeine Wurzel der Gleichung X = o.

§. 160 . Zusatz 1. Da also die imaginären Wur-zeln einer Gleich, immer paarweise und conjugirtVorkommen, so entspringen aus jedem Paar die einfachenFactoren x — p — q — 1 und x — p -)- q — 1 , welchezusammen den quadratischen Factor (x — p)* -j- q 2 geben ;es kann demnach das Polynom einer jeden höhern Gleich,in lauter reelle quadratische Factoren von der Formx"• 4 - ax -j- b aufgelöst werden, wozu für eine Gleich,von ungeradem Grade, noch ein, ebenfalls reeller, ein-facher Factor kommt.