§. 161 . Zusatz 2. Da ferner die quadrat. Facto-ren, also auch ihr Product, wesentlich positiv ist; sokann das Polynom einer hohem Gleich, von lauter imaginä-ren W. für gar keinen reellen Werth von x negativwerden.

§■ 162 - Eigenschaften der C oefficienten.Verrichtet man in y) §. 167 die Multiplication mit den n Bi-nomial - Factoren und ordnet das Ganze nach fallenden Po-tenzen von x , so erhält man :

6 ) X = x n — C 1 x a —‘ -)- C. x x n -» — C 3 x"-* — 1 ) n C„,

wobei die Coefficienten C,, C 2 ,... nachstehende Werlhehaben: C, = w,.. -J- co„, C 2 = co,

co, co,, —|— co 2 co 3 -j- ... —|— co 2 co„ —etc. —CO„—1 co„,

C3 —— CO , CO 2 CO 3 etC. —CO„ 2 CO„ 1 CO „ U. S. W *, Cfi ^ CO , CO2 CO3 ...

co„_,co„, so, dafs also G, die Summe der Wurzeln oderdie Summe ihrer Combinationen zu 1 , C % die Summe ihrerCombin. zu 2 u. s. w., C n die Summe ihrer Combin. zu «,d. i. ihr Product, bezeichnet.

§• 168 * Zusatz. Fehlt also in einer höhern Gleich,das 2. Glied, so mufs die Summe der positiven W. jenerder negativen W. gleich seyn. Fehlt das letzte Glied (A„),so mufs wenigstens eine ihrer Wurzeln gleich Null seyn.

Anmcrli. Sind die sämmtlichen Wurzeln einer Gleirli.X=onegativ, so besitzt das Polynom X = ( x -f- w,) (x -j- u 2 )..,(x -J- 01,1) nur positive Coefficienten.

§• 164 . Lehrsatz. Ändert man in der GleichungX — o die Zeichen des 2., 4.,... d. i. jedes in geraderStelle stehenden Gliedes; so verwandelt man dadurch dieGleich, in eine andere, welche die nämlichen Wurzeln, abermit entgegengesetzten Zeichen besitzt.

Denn setzt man, um die Zeichen der Wurzeln zu än-dern, in X=o, statt x, — x\ so erhält man, für n ge-rad: x n — A t x n ~ 1 -\-A 2 x n — 2 —...-j-Ä„=o, und für nungerad: — x n -f- A, x n ~ 1 —...-j-Ä„ = o, oder, wenn