§• 172 . Aufgabe. Für eine gegebene Gleichungdie D i ff e r en z e n - Gleichung, d. i. jene Gleich, zu lin-den , deren Wurzeln die Differenzen aus je zwei W. der

gegebenen Gleichung sind.

Auf], Sind co,, co,, co 3 , . . co„ die W. der gegebenenGleichung, und ist y die Unbekannte der gesuchten Gleich.F = o; so ist zufolge der Aufgabe y der allgemeine Stell-vertreter der sämmtlichen Differenzen co,—co,, co, —co 2 , . . .co,—co„ , co-— co,, co,—co j , . . . co,— co„ u. s. w. , diesich aus den n W. der gegebenen Gleich, bilden lassen. Danun co, und co, W. von X=o sind, so bestehen (§. 144)die Gleichungen:

1) co« -\- A s 00«— -j- zf,co«~» -!- o und

2) 00« —//, co«“ 1 -j— A z CO« ’ -j— . . • -j— An o.

Aus co,— co, z=y folgt co,= co, -\-y, und wenn man diesenWerth in ddr letztem Gicicli. 2) substituirt, so erhält mannach §. i 45 , to—y gesetzt:

4 + vrf + ?%y' L + • • • + ~n-xy n ~' + r a y n = o,wobei A, r,, r,, . . r n die dort angegebenen Werthe vonX, X,, X,, . . X n nur überall co, statt x gesetzt, besitzen.Da aber auf diese Weise A das Polynom der vorigen Gleich. 1),und dieses gleich Null ist; so bat man auch:

-F- + • • • + 7 *y n = °>

oder wenn man mit y abkürzt, d. i. die W. jr — o (die denDifferenzen co, — oo,, co,-—-co,, . . . co„ — co„ entspricht)gleich ausläfst, auch:

m) r, -f r,jr + -f . . . + Tn-,jr n ~' + y r ‘~' = 0

(wegen r„ — 1), in welcher Gleich, sofort (§. i 45 ) dieCoeffic.r, , 7,', . . Functionen von co,, nämlich die abgeleitetenPolynome aus der Gleich. 1) sind. Eliminirt man daher ausdieser Gleich, m) und jener 1) die Gröfse co,, so erhält maneine Gleich, in r, deren Coeflicienten gewisse Functionenvon den gegebenen yf,, yjf,, . . sind, als gesuchte Gleichung.

Da man aber statt der in Rechnung gebrachten Diffe-renz co,— co, = r eben so gut jede andere co 5 — co,