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C n — i = -f- ~ -)- . . -j— u, s. w. ist. Man hat also die

Gleich. X -|- X, a -j- . . a n ss C n - {- Cn—i et -{-. . -f- a n , unddaraus ($. 108), da X, X,, . . C n , C n —i, . . von a unab-hängig sind: X = C n = />, b z . . b n (die urspr. Gleichung),

_ X , X . , X

X, = + . . + - u. s. w.

Besitzt nun die gegebene Gleich. Xss o m gleiche Wur-zeln, und zwar u, =: co, = . . o) m = a, so ist auch6, = ö 2 = . . es b m , und man hat X = b”‘ b m ^- t . . b n und

X a ■

— , d. 1.

bn

X, = mb™~ 1 bmJfi . . & n etc.

“j“ b^bm+i • • fin—1 ,

woraus sofort folgt, dafs die beiden Polynome X und X,als gröfsten gemeinsch. Divisor den Factor b ™~ 1 = (x' — a ) m —*besitzen. Besäfse die obige Gleich. X=o aufserdem nochp W. jede ~b, so würde man eben so finden, dafs diebeiden Polynome X und X, als gröfsten gern. Factor denAusdruck (x — a ) m ~ 1 (x — b)P~' haben, u, s. w.

*‘ = ^ + ^ + -- +

§. 175 . Um also zu untersuchen, ob die GleichungX=o gleiche W. besitzt, leite man 1 4 - 5 , Anm.) aus Xdas Polynom X, ab , und suche zu X und X, den gröfstengemeinsch. Divisor ; ist dieser, in einfache Factoren zerlegt,von der Form (x — a) m (x — b)P{x-\-c) r . . so enthältdiese Gleich, die W. a /nMal, jene b pMal, die W. — crMal u. s f.; findet man keinen solchen gern. Divisor, sohat die Gleich, auch keine gleichen Wurzeln.

So ist z. B. für die Gleichung x* — x 3 — 3ar 2 -j- Sx —2 = 0 :X = .r 4 — x 3 — 3x l -f- ox — 2 , X 1 4-r 5 — 3.r- — 6 x -j- 5; und daman zwischen X und X t als gröfsten gern. Divisor x 2 — ‘ix -j- 1— (x — 1 )- findet, so enthält diese Gleichung die W. x = 13 Malj und in der Tliat, die W. dieser Gleichung sind: 1, 1, 1und — 2 .

Cubische Gleichungen.

§. 176 . Da sich (J. 169) aus jeder Gleich, das 2. Gliedwegschafifen läfst, so können wir zur gröfsern Einfachheit