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die aufzulösende cubische Gleich, in der Form voraus-setzen : 1) x 3 -{- p x -}- q = o.

Um diese Gleich, aufzulösen, setze man 2 ) x—y-\-z;so geht sie über in: y 3 -|- z 3 -J- (3yz -|~p) x -|— q = o , undwenn man, umj^undz zu bestimmen, nebst der vorigenBedingungsgleich. 2 ) noch die folgende : 3yz -|-p — o, wor-aus 3) z == — folgt, annimmt, auch: 4) J" 3 ~f-* 3 -J- 9 — o

p 3 t pZ

— - [-9 = 0 , ä. i. y 6 qy 3 == —, woraus

® 7 y ^ 7

oder

r

sofort y = V-i ± 7 - -f- — folgt. Aus 4) hat matt

z 3 = — <7-

2 — ' 4 ' 27

-j- 3 , oder -wenn man für j ^ 3 substituirt und die

W. auszieht: z

= /-?;!/

7* 1 F 3

Es folgt also

endlich aus 2 ), von den doppelten Zeichen nur die obernbeibehaltend, indem die untern dasselbe Resultat geben:

5) — \Z[-f + /?+£]

+l/[-

q

27J

welcher Ausdruck unter dem Namen der C a r d a n’schertFormel bekannt ist.

§. 177. Setzt man Kürze halber

6 ) + und _!_/£+£=!,

’ 2 1 4 1 27 2 r 4 1 27

so geht die Formel 5) in 7 ) x— \Af-{- B über. Um nunzu sehen, wie diese Formel die sämmtlichen 3 W. der Glei-chung 1 ) enthält, bemerke man, dafs die 3 Cubikw. aus a 33 \ 1 3 '

sind:

a (_!_±2i_f) und «( 2 — )*),

oder für

*) Setzt man nämlich \/a/> = x, so folgt xz — a 3 =so, und da

x — a eine W., also (§. 1 55) xz — a* durch x — a theilbarist; so erhält man noch x”- a x -(- a 1 * = o, und daraus dio

3

beiden übrigen oben angegeb. imaginären W. von qa 5 .

.7 *