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—3) = « auch: a, aa , a z ci. Versteht manalso unter y A die gewöhnliche, reelle oder arithmetischeCubihw. aus A', so sind die 3 Wurzeln von Y~A sofort:i ,y A, ay A, a 2 y A. Auf die nämliche Art hat man fürd : e 3 Werthe von \/B : i.yB, a\/^B, a l ^ r B' } da nun aber[vergl. s) und 3)] wegen yz = — ^ in 6 ) für Y A und YB

nur jene Werthe genommen werden dürfen, die zusammenein reelles Product geben; so sind für x nur folgende 3Combinationen möglich oder brauchbar:

8 ) x t — i . y r a -j-». y" b , x z =« y r A -J- a- Y^B

und x 3 := a 1 Y~ A -J - a.y' B,

welches zugleich die gesuchten 3 W. der Gleich, l) sind.

§• 170 . Um zu untersuchen, unter welchen Bedin-gungen die vorigen 3 W, der Gleich. x % p x q = o, inwelcher p und q positiv oder negativ seyn können , reelloder imaginär ausfallen, mufs man die 3 Fälle unterschei-

q'~ m >

den: i) wenn - — 2 ) = o und 3)<[o ist. Man4 »7

findet durch diese Discussion [I , io5], dafs im 1 . Falle dieW. reell, die beiden übrigen imaginär sind; dafs im2 . Falle alle 3 W. reell sind und dabei x z ~x 3 ist, und dafsendlich auch im 3. Falle die sämmtlichen 3 W. reell ausfal-len, obschon sie in der Cardan’schen Formel unter einerimaginären Form erscheinen, wefshalb man auch diesen denirreduciblen Fall genannt hat.

Auflösung der cubischen Gleichungen mit-telst trigonom. Functionen.

§. 179 . Für den 1 . der im vorigen J. angeführten3 Fälle setze man, wenn a) der Coefficient p positiv ist,

1 ) - X/'— — lang f und \/langq;f = lang ib, wo y und fq Y 27

zwei Hilfsw. bezeichnen; so erhält man für die Gröfsen Aund B in $. 177, b), nach einigen leichten Rcductionen: