the 0,1,2, . . G und o, — 1, — 2, . . >— G ', und be-obachtet die dadurch in X entstehenden Zeichenwechsel;ändert nämlich X für x = a und x = a -}- 1 sein Zeichen, soliegt (§. 14 b) zwischen diesen beiden Zahlen a und a -J- 1wenigstens eine reelle W. Bei diesen Substitutionen hatnun entweder das Polynom X sein Zeichen A) so oft Mal ge-ändert, als der Ordnungsexponent n der Gleich. Einheitenhat, d. i. es haben sich die sämmtlichen W. der GleichungX = o verrathen, öderes findet dieses B ) nicht Statt; beidediese Fälle sollen besonders behandelt werden.

Ä) Wenn sich eben so viele W. zu erkennengeben, als n Einheiten besitzt.

§• 202- I" diesem Falle liegt zwischen zwei solchenauf einander folgenden Substit. x~ a und x — die in

X einen Zeichenwechsel bewirken, nur immer eine W.,und man kann diese durch einige Zwischensubstitutionensehr leicht zwischen zwei, höchstens um von einanderabstehende Grenzen einschliefsen. Liegt also die betref-fende W. bereits zwischen a und a -)- , so setze man

x = ay, wobei nuny^i ist; man erhält durch dieseSubstitution in X= o (§. >45) :

x + %>y -f- + • • + X*—,y n ~‘ -f- y n = o,

dabei die Polynome X, X, , . . so verstanden, dafs überalla statt x gesetzt wird. Aus dieser Gleich, folgt, wenn man,da es sich nur um einen Näherungswerth handelt, die ho-hem Potenzen von y vernachläfsiget: X X^y — o oderx x

a yy — ~~T i *

Diesen Werth für y in x =z a -\-y substituirt, erhältman (im Allgemeinen) für x schon einen etwas genauerenWerth, welchen man für a gelten läfst und damit aus der-selben Formel a) ein noch genaueres berechnet, wodurchauch das neue x=:a-\-y dem wahren Wcrthe wieder nä-,her gebracht wird, u. s. w.

So findet man z. B. für die Gleich, .r 3 — Sx — 3 —o sofort:G — 3 , G = 2 , und für x =s — 2 , — 1 , o, -f- 1, -j- 2 , -J- 3