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der ursprünglichen Reihe. Es ist nämlich: A’a 2 — A’u,= A 1 (A'Uj) = A 2 «! u. s. w. A'tfn-p, — A 'a n — A *a n .

Auf diese Weise erhält man die zweite DifFerenz-reihe &' t a 1 , A 2 a,,... A z a n ,... aus welcher nach derselbenVerfahrungsart die dritten Differenzen gewonnen wer-den u. s. w.

§• 225- Sind die ersten Differenzen einer Reihe,d. i. A'a,, A*a 2 ,... einander gleich; so heifst die Reiheeine arithmetische, und zwar der ersten Ord-nung. Eben so wird die Reihe eine arithmetische der a.,

3.. ... m. Ordnung genannt, wenn beziehungsweise erst die

2 ., 3.,... tn. Differenzen derselben einander gleich sind.

§•226. Aufgabe. Eine beliebige Differenz ir-gend eines Gliedes der gegebenen Reihe a,, a 2 ,... d. i.h m a n , zu bestimmen.

Au fl. Zufolge des 223 ist

A‘a n = a„p., — a n = (—i)‘ (a n — a„p-,).

Nach §. 224 : A-u„ = A'a,,^-, — A l a n = — a n p-„

" 1 (U/i-pl ' Cln) — ( (<ln 2 ein-^-x Un-j- 2 ).

Weiters : A ' s a n = A 2 <z„p-, — A l a n — A’a«+» — A’a,,-)-,(Abi/i-p, — A 1 ei n ) — j^A 1 U / I -|-2 ~ 2A'« n ^-, -|- A^tZnJ

- ein -^~3 Un-pa 2 (dn-^-i ~~~~ “~j“* U w p, — Cl n

— (— i) 3 (ein — 3a„p-, -J- 3a„p, — a„pa) u. s. w.Setzt man nun nach diesem Gesetze^ m &n == ( l) m \_cin ^ J J “f“ ( 2 ) -1" • • i ein-\-m\ (I

so findet man leicht durch höhere Inductiön [I., 194 ] dieallgemeine Giltigkeit dieses Gesetzes für jede ganze positiveZahl m. Zugleich lassen sich auch aus dem Gange dieserEntwickelung die nach dem nämlichen Gesetze gebildetenAusdrücke für A m a n , durch die m — 1 . oder rn — 2 . Diffe-renzen u. s. w. ausgedrückt, ersehen.

§• 227. Aufgabe. Das allgemeine Glied a n einerReihe a,, a 2 , a 3 ... durch das 1 . Glied a, und durch dieDifferenzen von a, auszudrückeri.

Burg'a Compendium d. höh, Math.

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