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ferner S' durch 5", 5" durch S"' u. s. w. Gelangt mandurch dieses Verfahren endlich zu einem solchen zwei-gliederigen Quotienten ohne Rest, so ist S eine recur-rirende Reihe, und zwar von der m. Ordnung, wenn dieletzte Division in der Reihe die m. war. Gesetzt, es gehedie dritte Division auf, so, dafs man hat:

-=p + 9 ;r-f--ra:-,

S

S 7

und — = p" -f qx ;

so ist

S"

Y

(p + qx)(p" + q"x) -f- x*

p" + qx ’ S p + qx ’

2 (p + qx){p -f q'x)(p" -f qx) -f(p -j- qx -f p" -f- q"x) x*

S (p + qx)(p" + qx) + x- ’

und endlich der Form nach: S =- ^ x ^ x -

U \ + a z x -j- a 3 x- a 4 x 1

die erzeugende Funct., welche sofort eine recur. R. derdritten Ordnung liefert.

So ist z, B. für S=— i-f + i

sofort — 2 — 3x + y X *, S = T + zar + ir^+fl^ + v

g

und ^7 = — i + T 1 ! ohne Rest; es ist also die gegebene Reihe

eine recurrirende, und zwar der 2. Ordnung. Um dafür dieerzeugende Function zu finden, hat man

S _ 5

iS 1 —i-f-2-r’

also endlich S =

i Sx 2

p = — 2 — 3 x -1 ---

S 1 - 1 -f- 2X

- 2 -(- X -|- X 2

— 1 4 * ‘IX

(vergl. Beisp. im §. 256 ).

>

Anmerk. In der Anwendung kann es öfter vortheilhaft seyn,Reihen, welche keine recurrirenden sind, näherungsweisedoch als solche anzusehen, und dazu die erzeugende Funct.zu suchen. Diese werden (vorausgesetzt, dafs sie convcr-giren) der Wahrheit um so näher kommen, von je höhererOrdnung man die recur. R. annimmt. [Die Entwicklung desallgem. und summat. Gliedes findet man I., 261 —266 ]