Siebentes Capitel.

Über die Umkehrung der Reihen.

§. 266. Erklär. Eine Reihe

y = Ax -]- Bx 2 -}- Cx 3 -{- • ••>in welcher alsojr als Function von x erscheint, umkehren,heilst x als Function von y, und zwar wieder durch einenach steigenden Potenzen von y fortschreitende Reihe dar-stellen.

§. 267. Um nun die Reihe

1 ) y = A x -j- B x*- -]- Cx 3 -|- . .,wobei A , B , C , . . von x unabhängige Coefficienten sind,umzukehren, nehme man für x die unbestimmte Reihex = tjjr -{- t 2 y* + t 3 y 3 + • • an, bilde daraus die in •)vorkommenden Potenzen von x , und substituire die da-durch für x, x% x 3 , . . entstehenden Reihen in i); so er-hält man, Alles nachjr geordnet, nach dem Satze der un-bestimmten Coefficienten die zur Restimmung von t z ,t 3 , . . nöthigen Gleichungen.

i. Um z. B. die Reihe y = x -f- x- + x 3 + x 4 -f-. . umzu-kehren, setze man x= t t y -f- t 2 y 2 + ky 3 + * *5 s0 "ärd(§§. t i 4 etc.) x 2 =. tl y~ + 2 f,f 2 J 3 + ( 2 Ms + Oj 4 + • •»x 5 = t] y z -{- 3fJ f 2 y 4 x 4 — tjy 4 -J- . . u. s. w., also,

wenn inan diese Werthe für x, x 2 , . . in der gegebenen R.substituirt und nach y ordnet:

y=t l y + (f 2 + C)j 2 + «s + atitn+t!)*®

+ (r 4 + 3t, f 3 -F- + • • •

Aus dieser Gleich, folgt aber : t, = i ; t 2 -j- t \ — °, al s0 h = 1 ’f 3 + *fi k + t\ = o, also f 3 = i ; f„ + 2 f, t 3 + t’ + 3t’ f 2 + C=o,also f 4 = — i u. s. w. Die gesuchte oder umgekehrte R. ist so-nach : x = y — y 2 -^-y 3 — y 4 -J-... (Und in der That, die für

x

y gegebene R. ist eine recurrirende, wofür §. 259 J == , r

y

die erzeugende Funct. ist; da nun daraus x = ^°^ t ’ S °

ist, diesen letztem Bruch nach §. 235 in eine rccur. R. aufge-löst, wieder x=y — y 2 -{-y 3 — J' 4_ h?0