lfio

nur auf (len numerischen Werth ankömmt, positiv oder ne-gativ ist; so gilt dieser Satz auch dann noch, wenn (wenig-stens von irgend einer Stelle angefangen) in der Reihe einregelmäfsiger Zeichenwechsel Statt findet.

§. 275. Das eben entwickelte Kennzeichen für dieConvergenz und Divergenz unendlicher Reihen zeigt deut-lich, dafs das blofse Abnehmen der Glieder oder Fallender Reihe zur Convergenz noch keineswegs hinreichendsey; obschon man umgekehrt, aus dem Nichtvorhandenseyndieser Eigenschaft, mit Restimmtheit auf ihre Divergenzschliefsen kann.

, 1

i. So hat man z. B. für die unendl. R. i — -}- — —.. —J- — ..

sofort

—-. = i --f- als

an /t + i n \n- 1 J

also (da x < i

seyn mufs, und der Voraussetzung dafs n fortwährend zunimmt)

1 x

x = i — — und a n - -

n i — x

— i — —. Da nun dieser Ouotient bein v

der unendl. Zunahme von n nicht bis Null , sondern nur bis l

abnehmen kann; so ist die vorliegende Reihe divergent.

t. Für die Reihe i — T + f — T + - . dagegen ist

«n+l i /i \

~— = — 1 +-( — 4- • • ), also

a n n \n i J

x — — i -j-( oder — x = l — - ) und

' n\ uj

' x — n -|- l

Cln - = —;-

i —x n (2 n — i)

Da dieser Quotient bei der unendl. Zunahme von n unendlichabnimmt und für nrzOO verschwindet, so ist diese Reihe con-v e r g e n t.

3. Um die Bedingung zu finden, unter welcher die unendl. R.

i

1

+ • • +

(in)”

-f- . . convergirt, hat man(iri) m

Cln

(li/t -J- 1)”* t2/t) m -f-m(2/t)m—‘ 2

woraus sofort folgt,

m x n — m

also x = i-und a n - = -

ti l—x m(‘zn) m

dafs diese Reihe für alle positiven Werthe von ra> t con-

v e r g i r e , für alle übrigen Werthe aber d i v e r g i r e.