§. 276. Setzt man für x seinen Werth (5* 2 v3),

Cln

so wird a.n - = n ~^‘ —, und es ist die Anwendung

1 — X an — an-J-1 ö

dieses letztem (Quotienten statt des vorigen, zur Untersu-chung der Convergenz einer gegebenen unendl. Reihe, mei-stentheils noch bequemer.

So ist z. B. für die unendliche Reihe

i i

1 + V + T + ■ • +

2/t -

■ 1

+

s n -f- i

+

Cln iln-\-\ ,

sofort -•— = 7; da also dieser Quotient für n z= OO nicht

<Xn — Cln -|-i

Kuli werden liann , so ist die Reihe divergent.

2 . Dagegen erhält man für die Reihe

•T+T-.. ±

+

+ .

ein ein- J-i __ 1

~ 4- ' 1

Cln — ö/z-j-i * 4/2

2 n —1 ‘ 2/i-|-i

und da dieser (Quotient bei der unendl. Zunahme von n unend-lich abnimmt und zuletzt für n — OO ganz verschwindet, sogehört die vorliegende Reihe zu den convergirenden.

3. Für die unendliche Reihe-1- 5 -1-4- . . hat

2 rn 1 3m 1 um 1

1

Cln Cln -|-i _

an — an+i mnm .

3 m ■ 4 «

j woraus sofort folgt,

' + (T)”“ * _j_ ,

dafs diese Reihe nur für positive, die Einheit überste i.g e n d e Werthe von m convergire.

4. Um die Bedingung der Convergenz für die Reihex afi x*

-1-- 2 + . .

1 1.2 1.2.3

aufzufmden , hat man dafür

a n ßn-f -1 _ .r"-)- 1

Un — Unfl 1 . a . 3 . . «(« + i — x)

r i 2 3 n (/ 1 + i — a-)~I

x ‘ x ‘ x ‘ ' x x ’

und es ist nicht schwer einzusehen, dafs dieser Quotient bei derunendl. Zunahme von n für jeden endlichen Werth von x un-endlich abnimmt, folglich die vorliegende R. für alle innerhalbder Grenzen -}-OO un d —CO liegenden Werthe von x c o n-vergire.

5. Für die unendl. R. x — \x- + -f- . . erhält

anön-j-i + xn • a: n +‘

man - /IX L

a n — an-j-i xnnxn -f- 1

Rurg’i Compendium d. holt» Math.

— . ( rt + 1 i

1 * \ .rn-j - * ‘ x n J*