=S 162

Da nun für n zz OO der Quotient —

^also auch j

jener - ; —

0:«+*

n-\- 1

oder OO wird, je nachdem x^> oder < 1 ist (was man leicht

1

findet, wenn man beziehungsweise x = 1 -j- a und =xn

setzt, und damit — entwickelt); so folgt, dafs diese R, nur in-nerhalb der Grenzen x =—1 und x-=- 1 (diese letztere noch

mit begriffen) convergire, sonst aber divergent sey.

6. Unter den nämlichen Bedingungen convergirt auch

die Reihe x — -j -v 3 + T — yi 7 + . .

.r 3 . x~>

7. Für die Reihe x — —- 4 - —-—-—- —. etc. findet man

2 . j 2. i . 4 • 3

Cln ein- 1 -

Cln

und daraus folgt, so wie im 4. Beispiele, dafs diese R. für jedenendlichen Werth von x , d. i. innerhalb der Grenzen x = — OOx — OO convergire.

8. Dasselbe Ergebnifs findet man auch für die unendl. Reihe

9. Um endlich noch die Bedingung aufzufinden, unter wel-

cher die R. (1 -f- xjm r= 1 -|- x -j- x 2 -j- . ., die be-

kanntlich (§. i-21) blofs für ganze positive Werthe von m ab-bricht , convergire , hat man dafür :

(m — n 1 )(m

a n — an-j-i 1 . 2 . . . ra[(«4-i) + (« — m)x]

und da (wie wir unten §. 297 , 5 . sehen werden) dieser Quo-tient bei der unendl. Zunahme von n blofs für x < 1 unendlichabnimmt und für n = OO verschwindet; so convergirt dieseReihe ebenfalls nur innerhalb der Grenzen x — — 1 und x=z-^-i.Auch convergirt diese Reihe noch für x— 1, wenn m positivist (vergl. auch §. 278, Beisp. 2.).

§. 277 . Zusatz. Fallende Reihen, bei denen jein regelmäfsiger Zeichenwechsel Statt hat, sind immerconvergent. Denn sind wieder + a„ + a n -(-1 2 aufeinander folgende Glieder (oder wenn immer mehrere Glie-der das nämliche Zeichen besitzen, Gruppen von Gliedern)

der R., so hat man __. a " a ”+' _ -j. , . /_!-1 .L'N ; da

Cln ~~~ Cln -|-i (ln/