nun die R. fallend ist, also a n und für n = oo un-endlich klein, demnach -und — unendlich srrofs wer-

dn- j-i Cln

den; so wird dabei in der That dieser Quotient gleich Null.

§. 278 . Die in 274 zur Untersuchung der Con-

vergenz der unendl. Reihen entwickelte allgemeine Regel

läfst sich für jene besondern Reihen, für welche der Quo-

. fl/i-f-i .. . n a 4 - ci n a 1 4- . . , ,

tient - die korm r) - - - 1 - erhalt, noch

an n a + An a ~ 1 + . .

einfacher ausdrücken. — Es sey nämlich

a„ = (n r -[- pn?—' —f— . : (n m -j- pn m ~' -|- . .)

das allgem. Glied einer solchen R., und dabei m und r

p o s i t i v, so ist

M->=[( 71 + 1 ) r -MH-' Y ~'+<•]:[("+») m +P( n 4-' •]

= [" r + (p+ r ) nr ~' +••]: |> m + 0>'+ m ) ,im ~' + • •] .

demnach

m —r

. Ctn+i _ nr+m (p -f p r) nr+m— ■ -[- .

' n r + m + (p + p’+m) rt r + m — 1 + .

es ist also x = 1 —

und

(n r + pnT-' + --)(i “ + r),

welcher Quotient bei der unendl. Zunahme von n offenbarnur dann unendlich abnehmen kann, wenn m — 1 >r oderm — r j> 1 ist. Da nun aber, den obigen Quotienten r) mitjenem s) verglichen, r -|- m = a, P p' -f- r = <z undp -)-p'-j-m = yf, mithin rß — A — p — p und r = a— p — p\folglich m — vz^A—a ist; so wird also die betreffendeReihe convergiren, wenn (bezogen auf den obigen*Quot. r) A — a > -f-1 ist.

1. So sind z. B. für die beiden unendlichen Reihen

1 + 7 + T + • • und ^ + • •

die Quotienten

Un~ J-iCln

beziehungsweise: