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§• 296. Mit Hilfe der logarithmischen Reihe 2 ),284 , läfst sich nun auch eine Formel zur approximativenBerechnung von x aus der Gleichung x x ss a entwickeln.Denn ist ,r = a ein vom wahren Werthe um keine ganzeEinheit mehr abweichender erster Näherungswerth, wel-cher durch ein paar Versuche leicht gefunden wird; sosetze man m) x=a-\-y, wobei also y<^ 1 ist. Dadurcherhält man, wegen x logx = loga:

loga — (a -J -y) log (a -f j) = (a + 7 ) pog' a -f log +0 J ,

oder wegen

wenn man nämlich, da es sich nur um einen einfachen Nähe-rungswerth handelt, die höhern Potenzen von — ausläfst:loga = (a ~y) ^ log

My\

' a -|— j z= a log a -j— My —[- y log a

t iri j ~ ,

—— wieder weggelassen], und daraus als Näherungswerthfür y :

9 ) y —

loga

a loga

M -}- loga

Um. z. B. aus der Gleichung x^ = 6^5 den Werth für x zufinden, hat man nach dieser Formel, da 4 4 =sS6 und 5 s = äi25ist, also x zwischen 4 und 5 liegt, für a = 4'5» wegen a=. 645und (§. 292 ) M—' 4342945 : y = —M 19 . Mit diesem \V T erthe ist= — * 1 >9 = 4'38i genauer als der vorige Werth a Läfst

man diesen letztem Werth für a gelten , und berechnet nachder nämlichen Formel 9 ) dafür y, so erhält man y = — '00109,also ist noch genauer: ,r = 4'38i —'00109 = 4'37992* Setzt manaber neuerdings a = 4 ' 3799 i) so findet man j= — 'o ö i , alsoar = 4 ' 3799 i — 'o 15 ! = 4'3799099 , welcher Werth bereits schonbis einschliefsig zur 7 . Decirnalstelle richtig ist und durch Fort-setzung dieses Verfahrens leicht noch genauer gefunden werdenkann.

Convergenz unendlicher Factorenfolgen.

§. 297. Um zu untersuchen , unter welchen Bedin-gungen eine uncndl. Factorcnfolge F = a, a 2 a 3 ... a„ffn-p,...