173

convei’girt, d. h. sich einer bestimmten endlichen Grenzeum so mehr nähert, je mehr Factoren von vorne hereinman beibehält; so bemerke man, dafs wegen ($$. 283 , 285 )a n = e lan , auch 1) F= e la > + la * + • • • + lcln + • • • ist. Istnun die unendl. Reihe 2) la l -{- l a 2 -f- . . . -j- Z a n -{- . . .convergent, und s ihre Summe, so ist auch F = e®convergent und von Null verschieden. Ist dagegendiese R. 2) divergent, also ihre Summe = + 00; so istim 1. Falle F a e+ w = 00 divergent, und im 2. FalleF — e~ “=0, also convergent und gleich Null.

1. So ist z.R. für die unendl. Faclqrenfolge (1 -J- 1) (1 -+7)(1 -f|)(i +A)... die obige Iteilie 2) sofort:

l Q +1) + 1 (*+4) + • • • + 1 +~;) +•

Setzt man Kürze halber den Quotienten (§. 276)

Cln Q n-j-i

Cin —

= Qi

löst hier Z^i+^7^ und l -+ ^ ^ nach §.285, 3 ) auf,

und behält dabei nur immer das 1. Glied der R. bei; so erhält

man Q:

; -=-. Die vorige R. ist demnach,

(re- 1 - 1) 2 — re 2 « + 1

da für n— <X> , Q = o wird, convergent; es convergirt alsoauch die vorliegende unendl. Factorenfolge gegen eine endlicheGrenze.

2. Für die Factorenfolge (1 —7X1 —7X1 1 —7) .. ^1 ——^ ..wird die obige R. 2): l(i — t) + 1 (' —?) + •••’ und für diese ’

nach einem ähnlichen Verfahren, O =--—;—. — — 1 • Diese

re — (re+i)

R. ist also divergent und (d«; Q negativ ist) ihre Summe = — CO ;es convergirt demnach die betreffende Factorenfolge gegenNull.

3 . Da man hingegen für die Factorenfolge (1 + -j)(i + 7) ...

= 1 findet, so wird diese für

0+i)

■•,<? =

11+1 — re

n— CO ebenfalls Unendlich und ist sonach divergent.

4. Für die unendliche Factorenfolge (1 +

('±t0