Zehntes Capitel.

Trigonometrische Reihen. Berechnung von x. Moivr-sche Formel. Binomische Gleichungen.

§. 298 . Setzt man Kürze halber — 1 = i und inder Reihe 4), §.282, statt x einmal xi und dann — xi‘,

x z X* i x* xi i

so erhält man: e* l =i-+-x 1 - --1 - 7 ,—rH-——

1 2 a .3 2.0.4 1 2... 5

1 . . x- , X* i , x* x r ’ i

etc. und e~ xl = 1 —xi ---- — etc.

2 1 2.3 1 2.3.4 2 ...5

Ferner aus diesen beiden Reihen, wenn man sie einmal zu-sammen addirt und dann auch von einander subtrahirt, imerstem Falle sogleich durch 2 , und im letztem durch 2 idividirt:

exi -|- e—xi

2

1

txi — q— xi

2 l

X*

2 . 3.4

yÖ

■-- -(-••• und

2 ... 6

ar J . a : 5

2.3 2.3.4.5

§• 299 . Rezeichnet man den ersten dieser beidenExponentialausdrücke durch f(x) und den letztem durch9 (a;), so ei’hält man ganz einfach daraus folgende Relatio-nen: /(o)=x, 9(0) = o, /(aO* + ^O*)’= 1 > f(—x)

= /(+ a 0> ?(— *) = — 9 (+*)> /(2®) == 2/(a?>*— 1= 1 — 29 (a;)’, 9 (2 a;) = 29 {x)f(x) u. s. w., so wie auchnoch, 9 (x±,r) = 9 ( x )f(f) ± 9 iS)f (*) un «l /(* ±j)— + 9 0*0 ? OO [I-, 328]. Aus allen diesen Re-

lationen folgt aber, was auch schon die beiden ersten alleinbeweisen, das f(x) = cosx und 9(a.) = sinx sej (vergl.

§ 5 - 9 “ 3 4 ).

§• BOO* Man hat demnach folgende wichtige Aus-drücke:

gx\! —1— e— W — 1 . e —— 1

1) sinx = --, 2) cosx = ---.

2 V — * 2

• — r5 1 3:5

3 ) sinx = x -- -1- —r

2 .3 1 2 ... 5

* > t