I

176

4) cos.v\x

x- .r 1 x 6

T + 2.374 ~ ^76 +

= — oo, x = —|— co für beide R. j.

§. 301 . Wegen iangx

und cotx

cos x

cosx sin x

erhält man ganz einfach, wenn man für sinx und cosx dieReihen 3 ) und 4 ) substituirt:

c\ v ' , ^ , ix"> i 7 .r? 6‘ix t) ,

5 ) •iangx = x + ^ ^ + ^+ . ..

i x x* 'ix~>

x 3 3 -. 5 3 2 .ö.7

6) cot x

[Wie man in diese Reihen durch Einführung der Bernoul.li sehen Zahlen (§.239, AnmerU. 1) ein Gesetz hineinbringt, sowie die Entwiclil. der Reihen für l sin 3.l cos x etc., s. m. I.,333 , ff.].

§. 302 - Um x durch sinx und lang x auszudrücken,erhält man durch Umkehrung der Reihen 3 ) und 5 ), §. 267,Reispiele 3 . und 4. :

7) x = sm x -4 ----—-- \- ...

2.3 1 2.4.5 1 2.4.6.7

J sin x — — 1 , sm x s —|— 1 |,

8) x — tangx — j tangx 5 -j- | tang x s — j iangx 1

J lang x = — 1, tang x = -j- 1 J.

Anmerk. Diese letztere Reihe hann auch direct auf folgendeArt abgeleitet werden: aus den Gleich. 1) und 2), §. 3oo,folgt durch Addition und Subtraction (wieder V —~ 1 = igesetzt): e*‘ = cos x + isinx = cosx( 1 + i tangx) undc~ xi — cos x — i sin x = cos x (1 — i tang x) , und wenn manauf natürl. Logarith. übergeht: xi = l cos x -f. I (1 -J- itangx )und —xi = / cos .r-|- l (1 — itangx ); diese beiden letztemGleich, von einander abgezogen, erhält man, wenn man auch

gleich durch 2 i dividirt: — 1 ? * tangx''

wegen (§.287, ß)i tangx'

j tangx* -f . . .),

= ^l(l±ijangx\ t oder ,2 1 \ 1 — 1 tang x /

/1 -f- i langx\\ 1 —i tangxJ

2 i (Iangx

i tangx/

endlich: x — tangx — f tangx 3 -J- j tangx 1 ■