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Reihen zur Berechnung der Ludo 1 phischen

Zahl 7z,

§• BOB. Setzt man in der vorigen Reihe 8)

x

so erhält man, wegen tangx = tang 45° =zuerst von Leibniix, aufgestellte Reihe:

7= > ~T + T-f + -.

sofort die

welche jedoch wegen ihrer zu geringen Convergenz zur Be-rechnung selbst nicht brauchbar ist.

7t

§• 304. Dagegen erhält man für x = 3o° = — aus

der genannten Reihe, wegen lang 3o°=-—, die schon

y/5

7t

besser convergirende R. - = _ „

ö 6 vo 5 . o

oder * = a/3 - ~ ~

-1-

7^ + *

§. 305. Setzt man a -J- b — 45°, so wird (§. 22 )

tang(a-\-b') ■=

tanga -|- tangb

1 —tang a tangb

und aus dieser letztem Gleichung für tang a — soforttangb — -f. Nun ist aber wieder nach der Reihe 8), we-gen tanga = ~: a~^— 1 und wegen tangb = }:

O . 2 3

b

t 1

7 ~~ 3 . 33

+

, mithin wenn man diese beiden Reihen

addirt, wegen a -f- b = -j j sofort:

51_ / 1

4“

3.2*

3.33 1 S. 3 5

Nach dieser von Euler herrührenden, zur wirklichen Rech-nung äufserst bequemen Reihe findet man für die ersten 16 De-cimalstellen : jt = 3 'i4i5926535897932.

An merk. Gestützt auf das hier angewandte Verfahren, denRogen von 45 ° in 2 oder mehrere andere zu zerlegen, derenTangenten passende Werthe haben, lassen sich noch viele an-

Hurg’s Clompendium d, hoh, Maift,

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